문제

https://www.acmicpc.net/problem/14442

N×M의 행렬로 표현되는 맵이 있다. 맵에서 0은 이동할 수 있는 곳을 나타내고, 1은 이동할 수 없는 벽이 있는 곳을 나타낸다. 당신은 (1, 1)에서 (N, M)의 위치까지 이동하려 하는데, 이때 최단 경로로 이동하려 한다. 최단경로는 맵에서 가장 적은 개수의 칸을 지나는 경로를 말하는데, 이때 시작하는 칸과 끝나는 칸도 포함해서 센다.

만약에 이동하는 도중에 벽을 부수고 이동하는 것이 좀 더 경로가 짧아진다면, 벽을 K개 까지 부수고 이동하여도 된다.

한 칸에서 이동할 수 있는 칸은 상하좌우로 인접한 칸이다.

맵이 주어졌을 때, 최단 경로를 구해 내는 프로그램을 작성하시오.

입력
첫째 줄에 N(1 ≤ N ≤ 1,000), M(1 ≤ M ≤ 1,000), K(1 ≤ K ≤ 10)이 주어진다. 다음 N개의 줄에 M개의 숫자로 맵이 주어진다. (1, 1)과 (N, M)은 항상 0이라고 가정하자.

출력
첫째 줄에 최단 거리를 출력한다. 불가능할 때는 -1을 출력한다.

예제 입력 1
6 4 1
0100
1110
1000
0000
0111
0000
예제 출력 1
15

예제 입력 2
6 4 2
0100
1110
1000
0000
0111
0000
예제 출력 2
9

예제 입력 3
4 4 3
0111
1111
1111
1110
예제 출력 3
-1

접근

최단 경로를 구해야 하니 일단 BFS를 사용해야 함이 자명하다.
그런데 방문 여부를 어떻게 관리해야 하는지가 문제였다.
BFS 특성상 여러 방향으로 뻗어 나가며 탐색이 일어나는데, 처음에는 그 모든 경로에 대해 각각 따로 방문 여부를 저장해야 하나? 하고 생각했었다.
그런데 지도가 1차원이면 모르겠지만 2차원이니 새로운 가지가 뻗어 나갈 때마다 새로운 2차원 배열에 기존까지의 방문 여부를 복사해 새로운 배열을 생성하는 건 시간적으로나 공간적으로나 오버헤드가 컸다.

하지만 이건 전혀 할 필요가 없던 고민이었다...
왜냐면 BFS는 현재 위치에 어떤 방향을 거쳐 도달했는지보다 어떤 상태로 도달했는지가 더 중요하기 때문이다.

BFS는

1번의 이동만으로 도달 가능한 모든 경로 탐색 -> 2번의 이동으만로 도달 가능한 모든 경로 탐색 -> 3번의 이동만으로 도달 가능한 모든 경로 탐색 -> ... -> N번의 이동만으로 도달 가능한 모든 경로 탐색

와 같은 식으로 목표 지점에 도달할 때까지 너비(이동 횟수)를 넓혀가며 탐색을 하기 때문에 그 특성상 어떤 위치에 가장 먼저 도달했을 때의 경로가 반드시 해당 위치에 도달 가능한 최소 경로임이 보장된다.
그러니까 동일한 상태로 어떤 위치에 이미 도달했던 적이 있다면, 이미 최적해에 대한 탐색이 끝난 것이므로 해당 위치에 다시 방문할 필요가 없는 것이다. 즉, 탐색 방향에 따라 방문 여부를 따로 관리할 필요가 전혀 없었다.

오히려 이 문제에서 중요한 것은 어떤 상태로, 즉 벽을 몇 번 부순 상태로 해당 위치에 도달했는지였다. 어떤 위치에 이미 도달한 적이 있다고 하더라도 벽을 부순 횟수가 이전과 달랐다면 최적해를 따로 구해줘야 한다. 그러니 벽을 부순 횟수에 따라 구분해서 방문 여부를 관리해줘야 하는 것이다.

구현

3차원 배열인 visited[N][M][K + 1]에 방문 여부를 저장했다.
visited[i][j][k]는 (i, j) 위치에 벽을 k번 부순 상태로 방문한 적이 있는지 여부를 나타낸다.

1. visited[i][j][k] == true이면 큐에 다시 추가하지 않는다.
2. visited[i][j][k] == false이면 해당 위치에 벽이 있는지 확인한다.

• 벽이 없다면visited[i][j][k]를 true로 마킹하고 큐에 넣는다.
• 벽이 있다면 벽을 부술 수 있는 횟수가 남아 있는지 여부를 확인한다. (k < K)
  벽을 부술 수 있다면 부순다. visited[i][j][k]를 true로 마킹하고 k를 1 증가시켜 큐에 추가한다.
  더 이상 벽을 부술 수 없다면 큐에 추가하지 않는다.

그 외에는 일반적인 BFS 구현과 다를 바가 없으니 설명을 생략한다.

import java.io.*;
import java.util.*;

class Main {
    static int N;
    static int M;
    static int K;
    static char[][] map;
    static boolean[][][] visited;
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        M = Integer.parseInt(st.nextToken());
        K = Integer.parseInt(st.nextToken());
        map = new char[N][M];
        visited = new boolean[N][M][K + 1];
        visited[0][0][0] = true;

        for (int i = 0; i < N; i++) {
            String input = br.readLine();
            for (int j = 0; j < M; j++) {
                map[i][j] = input.charAt(j);
            }
        }

        System.out.println(bfs());
    }

    private static int bfs() {
        int[] dx = {-1, 0, 1, 0};
        int[] dy = {0, -1, 0, 1};
        Queue<Path> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(new Path(0, 0, 1, 0));
        
        while (!queue.isEmpty()) {
            Path curr = queue.poll();
            
            // 도착 위치에 도달한 경우 -> 현재까지 지나온 칸의 수를 리턴하고 종료
            if (curr.row == N - 1 && curr.col == M - 1) {
                return curr.passed;
            }

            for (int i = 0; i < 4; i++) {
                int nextRow = curr.row + dx[i]; // 다음 위치의 행 좌표
                int nextCol = curr.col + dy[i]; // 다음 위치의 열 좌표
                if (nextRow >= 0 && nextRow < N && nextCol >= 0 && nextCol < M) {
                	// (nextRow, nextCol) 위치에 벽이 있는 경우 && 벽 부술 수 있는 횟수가 남은 경우 && 첫 방문인 경우
                    if (map[nextRow][nextCol] == '1' && curr.brakeWalls < K && !visited[nextRow][nextCol][curr.brakeWalls + 1]) {
                        visited[nextRow][nextCol][curr.brakeWalls + 1] = true;
                        queue.offer(new Path(nextRow, nextCol, curr.passed + 1, curr.brakeWalls + 1)); // 벽 부수고 이동
                    }
                    // (nextRow, nextCol) 위치에 벽이 없는 경우 && 첫 방문인 경우
                    else if (map[nextRow][nextCol] == '0' && !visited[nextRow][nextCol][curr.brakeWalls]) {
                        visited[nextRow][nextCol][curr.brakeWalls] = true;
                        queue.offer(new Path(nextRow, nextCol, curr.passed + 1, curr.brakeWalls));
                    }
                }
            }
        }

        return -1;
    }

    static class Path {
        int row; // 행 좌표
        int col; // 열 좌표
        int passed; // 현재까지 지나온 칸의 수
        int brakeWalls; // 부순 벽의 개수

        public Path(int row, int col, int passed, int brakeWalls) {
            this.row = row;
            this.col = col;
            this.passed = passed;
            this.brakeWalls = brakeWalls;
        }
    }
}

BFS를 잘 이해하고 있었으면 한 번에 올바른 방향을 잘 잡았을 텐데
내 BFS 이해도가 여전히 부족했나...? 하는 생각을 하게 만든 문제였다.