문제

https://www.acmicpc.net/problem/1520

여행을 떠난 세준이는 지도를 하나 구하였다. 이 지도는 아래 그림과 같이 직사각형 모양이며 여러 칸으로 나뉘어져 있다. 한 칸은 한 지점을 나타내는데 각 칸에는 그 지점의 높이가 쓰여 있으며, 각 지점 사이의 이동은 지도에서 상하좌우 이웃한 곳끼리만 가능하다.

현재 제일 왼쪽 위 칸이 나타내는 지점에 있는 세준이는 제일 오른쪽 아래 칸이 나타내는 지점으로 가려고 한다. 그런데 가능한 힘을 적게 들이고 싶어 항상 높이가 더 낮은 지점으로만 이동하여 목표 지점까지 가고자 한다. 위와 같은 지도에서는 다음과 같은 세 가지 경로가 가능하다.

지도가 주어질 때 이와 같이 제일 왼쪽 위 지점에서 출발하여 제일 오른쪽 아래 지점까지 항상 내리막길로만 이동하는 경로의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력
첫째 줄에는 지도의 세로의 크기 M과 가로의 크기 N이 빈칸을 사이에 두고 주어진다. 이어 다음 M개 줄에 걸쳐 한 줄에 N개씩 위에서부터 차례로 각 지점의 높이가 빈 칸을 사이에 두고 주어진다. M과 N은 각각 500이하의 자연수이고, 각 지점의 높이는 10000이하의 자연수이다.

출력
첫째 줄에 이동 가능한 경로의 수 H를 출력한다. 모든 입력에 대하여 H는 10억 이하의 음이 아닌 정수이다.

예제 입력 1
4 5
50 45 37 32 30
35 50 40 20 25
30 30 25 17 28
27 24 22 15 10
예제 출력 1
3

접근

예전에 풀었던 1890 점프와 비슷한 느낌의 문제라서 금방 감을 잡았다.
시작점인 (0, 0)에서 (x, y) 위치까지 이동할 수 있는 모든 경로의 개수를 메모이제이션해가며 풀면 되는 dp 문제였다.
(0, 0)에서 (x, y) 위치까지 이동할 수 있는 모든 경로의 개수는, 직전 위치가 될 수 있는 칸까지 이동할 수 있는 모든 경로의 개수들을 합한 것과 같다.
큰 수에서 작은 수로만 이동이 가능하기 때문에 직전 위치가 될 수 있는 칸은 자신보다 큰 수가 있는 칸일 것이다.

예를 들어보자.

(0, 0)에서 10이 있는 맨 아래 오른쪽 칸까지 가는 경로의 개수는
(0, 0)에서 15까지 가는 경로의 개수 + (0, 0)에서 28까지 가는 경로의 개수일 것이다.
15와 28은 모두 10보다 크기 때문에 15에서 10으로, 28에서 10으로 이동이 가능하기 때문.
그럼 그 값들은 어떻게 구할까? (0, 0)에서 15까지 가는 경로의 개수를 구하는 방법을 보자.

15와 인접한 칸에는 22, 17, 10이 있다. 그 중에서 15보다 큰 수이기에 15의 직전 위치가 될 수 있는 칸은 22, 17이 있는 칸이다. 따라서 (0, 0)에서 15까지 가는 경로의 개수는
(0, 0)에서 22까지 가는 경로의 개수 + (0, 0)에서 17까지 가는 경로의 개수일 것이다.
10이 있는 칸은 이미 앞선 탐색에서 방문했던 칸이기도 하지만, 애초에 15보다 작기 때문에 15의 직전 위치가 될 수가 없기에 고려 대상이 아니다. 이 문제는 무조건 작은 수쪽으로만 이동이 가능하기 때문에 이미 왔던 경로를 다시 가는 사이클이 발생할 수가 없음을 알 수 있다. 따라서 다른 건 전혀 고려할 필요가 없고, 그냥 인접한 칸에 있는 수가 자신보다 큰가, 작은가만 확인해가며 메모이제이션을 하면 된다.

구현

import java.io.*;
import java.util.*;

class Main {
    static int[][] map;
    static int[][] dp;
    static int[] dx = {1, 0, -1, 0};
    static int[] dy = {0, 1, 0, -1};
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        int M = Integer.parseInt(st.nextToken());
        int N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        map = new int[M][N];
        dp = new int[M][N];
        for (int i = 0; i < M; i++) {
            String[] input = br.readLine().split(" ");
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                map[i][j] = Integer.parseInt(input[j]);
                dp[i][j] = -1;
            }
        }
        
        if (M == 1 && N == 1) {
            System.out.println(1);
            return;
        }
        dp[0][0] = 0;
        System.out.println(dynamicProgramming(M, N, M - 1, N - 1));
    }

    private static int dynamicProgramming(int M, int N, int row, int col) {
        if (dp[row][col] == -1) {
        	// 경로의 개수를 0으로 초기화
            dp[row][col]++;
            for (int i = 0; i < 4; i++) {
                int prevRow = row + dx[i];
                int prevCol = col + dy[i];
                if (prevRow >= 0 && prevRow < M && prevCol >= 0 && prevCol < N) {
                	// 인접한 칸의 수가 현재 칸의 수보다 큰 경우
                    if (map[prevRow][prevCol] > map[row][col]) {
                        if (prevRow == 0 && prevCol == 0) {
                            dp[row][col]++;
                        } else {
                            dp[row][col] += dynamicProgramming(M, N, prevRow, prevCol);
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return dp[row][col];
    }
}