최단경로 알고리즘
최단 경로 알고리즘(Shortest Path Algorithm)은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. '길 찾기'문제로도 불린다.
최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현하는데 각 지점은 그래프에서 '노드'로 표현되고, 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 '간선'으로 표현된다.
실제 코딩 테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다. 그간 배운 알고리즘 중 그리디, 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다는 특징이 있다. 즉, 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘 및 다이나믹 프로그래밍 알고리즘 이기도 하다.
최단 경로 알고리즘의 종류
1.다익스트라 알고리즘
2.플로디으워셜 알고리즘
3.벨만 포드 알고리즘
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여러 종류의 알고리즘이 있지만 컴퓨터학부 수준에서는 위의 3가지 정도만 다룬다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘
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원리
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단경로를 구해주는 알고리즘이다. 이 알고리즘은 음의 간선(간선의 크기가 음수인 경우)가 없을 때 정상적으로 작동한다.(헷갈리지 않게 잘 기억해 둘 것)다익스트라 알고리즘의 원리
1.출발 노드를 설정한다
2.최단 거리 테이블을 초기화한다.
3.방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4.해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5.위 과정에서 3과 4번을 반복한다.다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하여 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다. 방문 하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인해 그 노드에 대하여 테이블을 갱신한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 분류할 수 있다.
다익스트라 알고리즘은 -
구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
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구현하기 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드
이렇게 두가지 방법으로 구현이 가능하나 코딩테스트를 보는 입장에서 반드시 2번의 방식으로 코드를 짤 수 있게 숙달할 것!
첫 출발 노드는 1이라 하자. 출발 노드의 거리는 0이고 다른 노드들과의 거리는 무한대로 설정한다.
1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산한다. 즉, 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인해가면 된다. 2,3,4번 노드에 대해서 최단 경로가 갱신 되었으므로 각각 무한대 값에서 새로운 값으로 갱신한다.
이후의 모든 단계에서 방문하지 않은 노드 중 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택해 나가며 값을 갱신하면 된다. 이번에는 4번 노드가 선택되며 1에서 시작하여 4번을 거쳐 갈 수 잇는 노드를 확인한다. 3,5 번이고 각 비용은 4,2가 된다. 이는 리스트의 값보다 작으므로 값은 갱신된다.
이번에는 2번 노드가 선택이 되며 위의 방법들과 동일한 방법으로 리스트를 갱신한다. 여기서 2번 노드를 거쳐 3번노드로 향하는 경우 비용이 5가 발생하는데 리스트의 값보다 크므로 리스트를 갱신하지 않는다.
위와 같은 원리로 최종 최단 거리 테이블을 구할 수 있다. 최단거리 테이블이 의미하는 바는 1번 노드로부터 출발하였을 경우 2,3,4,5,6번 노드까지의 최단 경로가 각각 2,3,1,2,4 라는 의미이다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘에서
방문하지 않는 노드 중 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택하는 것을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 최단 거리가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다! 즉, 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
- 간단한 다익스트라 알고리즘
이 알고리즘은 다익스트라가 가장 처음 고안한 알고리즘으로써 O(V^2)의 시간 복잡도를 가지고
있다. 여기서 V는 노드의 개수를 의미한다. 이 알고리즘은단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인한다.
#간단한 다익스트라 알고리즘 소스코드
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억 설정
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기\
n,m = map(int,input().split())
#시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
#최단거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance =[INF] * (n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기:
for _ in range(m):
a,b,c = map(int,input().split())
#a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미.
graph[a].append((b,c))
#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
for i in range(1,n+1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
#시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] =j[1]
#시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n-1):
#현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
#현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost =distance[now] + j[1]
#현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1,n+1):
#도달할 수 없는 경우, 무한(INF)라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INF")
#도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])위의 코드는 완벽한 형태의 최단 경로를 구하는 코드가 아니다. 코딩 테스트에서 대체로 특정한 노드에서 다른 특정한 노드까지의 최단 거리만을 출력하라고 하기 때문에 위와 같이 작성되었다.
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개선된 다익스트라 알고리즘
이 알고리즘은 시간 복잡도 O(ElogV)를 보장한다. 여기서 E는 간선의 개수 V는 노드의 개수이다. 개선된 다익스트라 알고리즘은 힙(Heap)자료구조를 사용한다.힙 자료구조란?
힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다. 우선순위 큐는 큐의 일종으로 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징이다. 파이썬에서는 이런 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue 혹은 heapq를 사용할 수 있는데 일반적인 경우 headq가 더 빠르기 때문에 headq 사용을 권장한다. 이런 우선순위 큐를 구현할 때 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 사용한다. 최소 힙은 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제되며 최대 힙은 값이 큰 데이터가 먼저 삭제된다.리스트를 사용 시 삽입시간은 O(1)이고 삭제시간은 O(N)이다. 힙을 사용하면 삽입시간이 O(logN)이고 삭제시간도 동일하게 O(logN)이다.
