Graph Algorithm
1. Graph 알고리즘
그간의 공부에서 DFS/BFS, 최단 경로에서 다뤘던 내용들이 그래프 알고리즘의 한 유형들로 볼 수 있다. 오늘 공부할 내용들은 출제 비중은 낮지만 제대로 알아두어야 하는 알고리즘들이다. 오늘 내용들을 충분히 숙지한다면 다양한 응용문제에도 당황하지 않고 해결할 수 있을 것이니 비중이 낮다고 가볍게 넘기지 말자!
복습내용
Graph란 Node와 Node 사이에 연결된 Edge의 정보를 가지고 있는 자료구조를 의미한다. 알고리즘 문제를 접했을 때 서로 다른 객체가 연결되어 있다는 이야기를 들으면 가장 먼저 그래프 알고리즘을 떠올려볼 것! 이와 함께 Tree 자료구조에 대해서도 꼭 기억해둘 것
Tree가 사용되는 경우로는 우선순위 큐를 구현시 사용되는 최소 힙이나 최대 힙이 있다.
Tree vs Graph
참고로 트리는 전통적인 수학에서는 무방향 그래프로 간주되나 컴퓨터공학 분야에서는 보통 방향 그래프라고 간주된다.
2. Graph 구현방법
Graph를 구현하는 방법에는 2가지 방식이 존재한다.
1. 인접 행렬 -> 2차원 배열을 사용하는 방식
2. 인접 리스트 -> 리스트를 사용하는 방식
위 두가지 방식은 속도와 메모리 측에서 구별되는데 노드의 개수가 V개 간선의 개수가 E개인 그래프를 예시로 들어보자. 인접 행렬의 경우에는 간선정보를 저장하기 위해 O(V^2)만큼의 메모리가 필요하고 인접 리스트의 경우에는 간선의 개수만큼인 O(E)만큼만 메모리 공간이 필요하다.
또한 인접 행렬은 특정 노드 A에서 다른 노드 B로 이어진 간선의 비용을 O(1)의 시간으로 즉시 알 수 있지만 인접 리스트의 경우에는 O(V)만큼의 시간이 소요된다.
인접 리스트는 우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 최단경로 알고리즘에 사용되고 인접 행렬은 플로이드-워셜 알고리즘에 사용된다.
tip) 최단 경로 문제에서 노드의 개수가 많은 경우 다익스트라, 노드의 개수가 적은 경우 플로이드-워셜 알고리즘을 사용하면 좋다.
3. 서로소 집합
수학에서 서로소 집합(Disjoint Sets)이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다. 예를 들면 {1, 2}와 집한 {2, 3}은 2라는 원소가 두 집합에 공통적으로 포함되어 있기 때문에 서로소 관계가 아니라고 할 수 있다.
서로소 집합 자료구조는 몇몇 그래프 알고리즘에서 중요하게 사용되는 자료구조이다. 서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조라고 할 수 있다. 이 서로소 집합 자료구조는 union과 find 이 2개의 연산으로 조작할 수 있다. union 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연이고 find 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다. 이런 서로소 집합 자료구조는 union-find 자료구조라고 불리기도 한다.
이런 서로소 집합 자료구조를 구현할 때는 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현하는데, 서로소 집합 정보(합집합 연산)가 주어졌을 때 트리 자료구조를 이용해서 집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘은 다음과 같다.
1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
1-1. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
2-2. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다.(B'가 A'를 가리키도록 한다.)
2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.
위 단계가 트리를 이용해 서로소 집합을 계산하는 알고리즘이다. 실제 구현 시에는 번호가 더 작은 원소가 부모 노드가 되도록 하는 경우가 많다.
자세한 union(합집합) 알고리즘은 따로 다루지 않겠다.
기본적인 서로소 집합 알고리즘 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수가 간선(union 연산)의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end = '')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end = '')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end = ' ')
다음과 같이 구현하게되면 출력값은 1,1,1,1,5,5 라고 출력되며 이는 1부터 6까지 각 원소의 루트노드가 1,1,1,1,5,5 라는 의미이다. 이렇게 구현 시 답은 구할 수 있지만 find 함수가 굉장히 비효율적으로 동작하게 되며 시간복잡도는 O(V)가 나오게 된다.
이런 경우에는 경로 압축기법을 이용하여 시간 복잡도를 개선할 수 있다. 경로 압축은 find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 갱신하는 기법이다.
# 경로 압축 기법 소스 코드
def find_parent(parent, x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]위와 같이 함수를 수정하면 각 노드에 대하여 find 함수를 호출한 이후에, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.
개선된 서로소 집합 알고리즘 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수가 간선(union 연산)의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end = '')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end = '')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end = ' ')4. 서로소 집합을 활용한 사이클 판별
서로소 집합은 다양한 알고리즘에서 활용될 수 있는데 특히 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 경우에 사용 가능하다. 참고로 방향 그래프에서의 사이클 판별 여부는 DFS를 활용하여 판별 가능하다.
union 연산은 그래프에서의 간선으로 표현이 가능하므로 이를 이용하면 사이클의 여부를 판별할 수 있다.
1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
1-1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
1-2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 위 과정을 반복한다.
서로소 집합을 활용한 사이클 판별 소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
cycle = False # 사이클 발생 여부
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle:
print("사이클 발생")
else:
print("사이클 발생하지 않음")5. 신장 트리
신장트리
신장 트리는 그래프 알고리즘 문제로 자주 출제되는 유형 중 하나이다. 신장 트리는 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.
크루스칼 알고리즘
최소비용으로 신장 트리를 찾아야 하는 경우가 있다. N개의 도시가 존재할 때 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 예로 들자. 도시 A, B를 선택했을 때, A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치하도록 한다. ㅁ든 도시를 연결할 때 최소한의 비용으로 연결하려면 어떤 알고리즘을 이용해야 할까?
위와 같이 여러 신장 트리 중 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 최소 신장 트리 알고리즘이라 한다. 대표적인 알고리즘으로 크루스칼 알고리즘이 있다.
크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류되는데 먼저 모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 뒤 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시키면 된다. 이때 사이클을 발생시킬 수 있는 간선의 경우, 집합에 포함시키지 않는다. 동작과정은 다음과 같다.
1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
2-1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
2-2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번 과정을 반복한다.
이와 같은 크루스칼 알고리즘은 O(ElogE)의 시간복잡도를 가진다.
소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().spilt())
# 비용 순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용 순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)6. 위상 정렬
위상 정렬은 정렬 알고리즘의 일종이다. 위상 정렬은 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘으로써 조금 더 이론적으로 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것 이다.
위와 같은 위상정렬의 예로는 선수과목을 고려한 학습 순서 설정을 예로 들 수 있다. 즉, 그래프 상에서 선후 관계가 있다면 위상 정렬을 수행하여 모든 선후 관계를 지키는 전체 순서를 계산할 수 있다.
위상 정렬을 알아보기 전에 먼저 진입차수를 알아야 한다. 진입 차수란 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수를 의미한다.
위상 정렬 알고리즘은 다음과 같은 과정으로 수행된다.
1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
2-1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
2-1. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
위 과정을 수행하면 간단하게 위상 정렬을 수행할 수 있다. 큐가 빌 때까지 큐에서 원소를 계속 꺼내서 처리하는 과정을 반복하며 모든 원소를 방문하기 전 큐가 비어버리면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다. 다만, 기본적으로 위상 정렬 문제에서는 사이클이 발생하지 않는다고 명시하는 경우가 많다.
위상 정렬의 시간 복잡도는 O(V+E)이다.
위상 정렬 소스코드
from collections import deque
# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동가능
# 진입차수를 1 증가
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v + 1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
print(i, end = ' ')
topology_sort()출처
이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬
저자 나동빈이 글은 위 서적을 바탕으로 학습하기 위해 작성되었습니다.
