Pytorch Geometric - Message Passing Network

문재경·2023년 5월 5일

GNN 스터디 with CS224W

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0. Graph Convolution

GNN은 CNN과 유사하게 convolution 연산을 수행한다. 다만, 그래프의 불규칙한 구조를 반영할 수 있도록 기존의 1D 또는 2D convolution가 아닌 graph convolution 연산을 사용한다. 아래 그림 출처

Graph convolution 연산의 핵심은 노드를 임베딩함에 있어 엣지로 연결된 노드들, 즉 이웃 노드들의 정보를 활용하는 것이다. 하나의 중심 노드에 대해, 그 노드가 이웃하는 노드들의 정보를 하나로 모아 중심 노드를 표현할 수 있는 벡터로 출력한다. 이러한 과정은 이웃 노드들이 엣지를 따라 중심 노드로 정보를 전달한다는 측면에서 message passing이라고도 표현된다.

이를 수식으로 표현한다면 다음과 같다.

$\textrm{\bf{x}}_i$ : 노드 $i$ 의 feature 벡터, 초기( $k=1$ )에는 input feature와 같지만 레이어를 지나며 임베딩 벡터로 변환
$\textrm{\bf{e}}_{j, i}$ : 노드 $j$ 에서 $i$ 로 향하는 엣지의 feature 벡터, 반드시 존재하지는 않음
$\bigoplus(\cdot)$ : aggregation 함수
$\phi(\cdot)$ : 중심 노드와 이웃 노드, 엣지의 feature 벡터로 message를 계산하는 함수
$\gamma(\cdot)$ : aggregation의 결과를 업데이트하는 함수
$k$ : 레이어 인덱스

수식에 따르면, 노드 $i$ 를 임베딩하는 과정은 엣지를 기준으로 중심 노드 $i$ 와 이웃하는 노드들 $j\in N(i)$ 의 정보를 가공해 message로 만들고, 이들을 aggregate한 결과를 다시 가공하여 최종 결과를 도출하는 것으로 정리할 수 있다.

이러한 과정에서 aggregation 함수 $\bigoplus(\cdot)$ 는 합이나 평균, 최댓값과 같이 출력이 입력 순서에 영향을 받지 않는 방식으로 설정되어야 한다. 또한, 모델이 학습을 통해 파라미터를 업데이트할 수 있도록 $\phi(\cdot)$ 와 $\gamma(\cdot)$ 는 MLPs처럼 미분 가능한 형태로 정의되어야 한다.

1. PyG의 `MessagePassing` 클래스

PyG에는 torch_geometric.nn.conv.MessagePassing , 줄여서 MessagePassing 클래스가 구현되어 있다. 클래스의 이름처럼 MessagePassing은 이웃한 노드 간 message 전파(propagation), 즉 그래프 신경망의 message passing을 관장한다. 위의 수식에서 $\phi(\cdot)$ 와 $\gamma(\cdot)$ , $\bigoplus(\cdot)$ 만 사용자가 정의하면 연산적인 부분은 알아서 실행되도록 구현되어 있는 것이다.

1.1. Super class

class MessagePassing(torch.nn.Module):
...

MessagePassing은 torch.nn.Module을 상속 받기 때문에, 모델의 학습을 위한 기능들을 사용 및 구현할 수 있다. Message passing을 기반으로 하는 그래프 신경망 모델들은 다시 MessagePassing을 상속 받아 정의된다.

1.2. `init`

def __init__(
        self,
        aggr: Optional[Union[str, List[str], Aggregation]] = "add",
        *,
        aggr_kwargs: Optional[Dict[str, Any]] = None,
        flow: str = "source_to_target",
        node_dim: int = -2,
        decomposed_layers: int = 1,
        **kwargs,
    ):
    ...

클래스를 생성하고 초기화하는데 있어 필요한 인자는 다음과 같다.

aggr: aggregation 방법
- "add", "mean", "max" 등의 키워드 또는 torch_geometric.nn.Aggregation 객체 사용 가능
- None으로도 설정 가능 - MessagePassing 객체의 aggregate() 메소드를 통해 구현
- 기본값은 "add"
aggr_kwargs: aggr이 키워드로 지정되지 않았을 때, aggregate()로 전달하기 위한 인자
- 기본값은 None
flow: message passing의 방향
- "source_to_target"와 "target_to_source"의 이지선다
- 보통 이웃 노드(source)에서 중심 노드(target)로의 message 전달을 가정하므로,
  기본값은 "source_to_target"
node_dim: 전파할 축
- 이후 propagate()에 입력되는 edge_index와 관련
- 기본값은 -2
decomposed_layers: feature decomposition 레이어 수
- feature decomposition - CPU 환경에서의 GNN 실행을 위해 메모리 사용량을 줄이는 방법
- 기본값은 1

1.3. `propagate()`

def propagate(self, edge_index: Adj, size: Size = None, **kwargs):
	...
    out = self.message(**msg_kwargs)
    ...
    out = self.aggregate(**aggr_kwargs)
    ...
    out = self.update(**update_kwargs)
    ...
    
    return out

본격적인 message passing이 실행을 담당하며 propagate()를 통해 시작된다. 호출 시에는 edge_index와 size, 기타 노드 임베딩 과정에 필요한 요소(**kwargs)들을 인자로 받는다.

여기서 edge_index는 그래프를 구성하는 연결 관계로 message가 전달되는 경로를 설정하는 인자이다. torch.Tensor 또는 SparseTensor 중 어느 형태로 입력되는지에 따라 분기점이 존재한다.

torch.Tensor로 입력되는 경우,
- 자료형은 torch.long, 크기는 [2, 엣지 수]를 만족해야 하며, 2개의 행이 source_node와 target_node의 순서로 구성되어야 함 (flow="source_to_target").
- size의 지정 필요
SparseTensor로 입력되는 경우,
- 기존의 텐서를 인덱스와 밸류, 크기로 나누어 구성하는 SparseTensor
- 인접 행렬을 SparseTensor로 나타내면,
  인덱스 -> 엣지, 밸류 -> 엣지 속성
- size 자동 계산

이후, message(), aggregate(), update()를 순차적으로 호출하여 노드의 임베딩 벡터를 업데이트한다. 사용자가 구현하는 방식에 따라 message()와 aggregate()는 message_and_aggregate()로 합치는 것도 가능하다.

1.4. `message()`: $\phi(\cdot)$

def message(self, x_j: Tensor) -> Tensor:
	
    return x_j

노드 $j$ 에서 노드 $i$ 로 전달하는 메시지를 생성하는 함수로, propagate() 내에서 호출되기 때문에 propagate()에 전달된 인자들을 사용하는 것이 가능하다.

기본적으로는 입력된 텐서 x_j를 그대로 출력하게끔 작성되어 있다. 메시지를 생성하는 방식에 따라 그래프 신경망이 구분되므로, 구체적인 방식은 오버라이딩을 통해 구현되도록 한다.

1.5. `aggregate()`: $\bigoplus(\cdot)$

def aggregate(self, inputs: Tensor, index: Tensor,
                  ptr: Optional[Tensor] = None,
                  dim_size: Optional[int] = None) -> Tensor:

	return self.aggr_module(inputs, index, ptr=ptr, dim_size=dim_size,
                                dim=self.node_dim)

torch.nn.aggr.Aggregation을 통해 message aggregation을 수행한다. message()의 출력값이 입력되며, message()와 마찬가지로 propagate()에 전달된 인자들을 사용하는 것이 가능하다.

1.6. `update()`: $\gamma(\cdot)$

def update(self, inputs: Tensor) -> Tensor:
        
        return inputs

aggregate()의 출력값을 최종 노드 임베딩 벡터로 출력하기 전에 업데이트하는 역할을 한다. message()처럼 구체적인 방식은 오버라이딩을 통해 구현되며, propagate()에 전달된 인자들을 사용할 수 있다.

2. Message passing 신경망 구현

MessagePassing을 이용해서 그래프 신경망 모델을 만들어보자.

GCN 레이어를 만든다고 하면, message passing 연산은 다음과 같이 정의할 수 있다.

\textrm{\bf{x}}_i^{k}=\sum_{j\in\mathcal{N}(i)\cup\lbrace i\rbrace}{1 \over \sqrt{\textrm{deg}(i)}\cdot\sqrt{\textrm{deg}(j)}}\cdot (\textrm{\bf{W}}^\top\cdot\textrm{\bf{x}}_j^{k-1})+\textrm{\bf{b}}

이전 레이어에서의 feature(또는 임베딩) 벡터 $\textrm{\bf{x}}_j^{k-1}$ 를 학습 가능한 파라미터로 구성된 가중치 행렬 $\textrm{\bf{W}}^\top$ 로 선형 변환한다.
노드가 갖는 이웃의 수 $\sqrt{\textrm{deg}(i)}$ 로 정규화한다.
임베딩하려는 중심 노드 $i$ 에 대해, 이웃 노드들의 벡터들을 더한다.
: self-loop를 추가하여 자기 자신도 이웃으로 간주
bias 벡터가 더해진 최종 임베딩 벡터를 출력한다.

import torch
from torch.nn import Linear, Parameter
from torch_geometric.nn import MessagePassing
from torch_geometric.utils import add_self_loops, degree

class GCNConv(MessagePassing):
    def __init__(self, in_channels, out_channels):
        super().__init__(aggr='add')  # Step 3: 이웃 노드들의 벡터들을 더하는 방식으로 aggregation
        self.lin = Linear(in_channels, out_channels, bias=False)
        self.bias = Parameter(torch.Tensor(out_channels))

        self.reset_parameters()

    def reset_parameters(self):
        self.lin.reset_parameters()
        self.bias.data.zero_()

    def forward(self, x, edge_index):
        # x has shape [N, in_channels]
        # edge_index has shape [2, E]

        # Step 1: 입력된 이전 레이어의 feature 벡터를 선형 변환
        x = self.lin(x)

        # Step 3: 인접 행렬에 self-loop 추가
        edge_index, _ = add_self_loops(edge_index, num_nodes=x.size(0))

        # Step 2: 정규화를 위해 노드가 갖는 이웃의 수 계산
        row, col = edge_index
        deg = degree(col, x.size(0), dtype=x.dtype)
        deg_inv_sqrt = deg.pow(-0.5)
        deg_inv_sqrt[deg_inv_sqrt == float('inf')] = 0
        norm = deg_inv_sqrt[row] * deg_inv_sqrt[col]

        # 주어진 조건으로 message passing
        out = self.propagate(edge_index, x=x, norm=norm)

        # Step 4: bias 벡터 추가
        out += self.bias

        return out

    def message(self, x_j, norm):
        # x_j has shape [E, out_channels]

        # Step 2: 노드가 갖는 이웃의 수로 정규화
        return norm.view(-1, 1) * x_j

위 코드에서 GCNConv는 MessagePassing을 상속 받아 정의된다.

__init__()에서는 message passing에 있어 aggregation 방식을 "add"로 설정하고,
선형 변환 self.lin = Linear(...)와 bias 벡터 self.bias=Parameter(...)를 생성하여 파라미터를 초기화한다.

레이어 객체의 작동 매커니즘은 forward() 메소드를 통해 구현한다. 입력된 x와 edge_index에 대해 선형 변환 및 self-loop를 추가하는 과정이 포함되어 있다. propagate()를 호출하여 message passing을 진행하며 이에 필요한 message 생성 함수는 message()를 오버라이딩하여 구현한 것을 확인할 수 있다.

이렇게 만든 GCNConv는 다음과 같이 선언하여 사용하는 것이 가능하다.

conv = GCNConv(in_channels=16, out_channels=32)
x = conv(x, edge_index)

문재경

안녕하세요...

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GNN 스터디 with CS224W

0. Graph Convolution

1. PyG의 `MessagePassing` 클래스

1.1. Super class

1.2. `init`

1.3. `propagate()`

1.4. `message()`: $\phi(\cdot)$

1.5. `aggregate()`: $\bigoplus(\cdot)$

1.6. `update()`: $\gamma(\cdot)$

2. Message passing 신경망 구현

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0. Graph Convolution

1. PyG의 MessagePassing 클래스

1.1. Super class

1.2. __init__

1.3. propagate()

1.4. message(): ϕ(⋅)\phi(\cdot)ϕ(⋅)

1.5. aggregate(): ⨁(⋅)\bigoplus(\cdot)⨁(⋅)

1.6. update(): γ(⋅)\gamma(\cdot)γ(⋅)

2. Message passing 신경망 구현

Pytorch Geometric 튜토리얼

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1.2. `init`

1.3. `propagate()`

1.4. `message()`: $\phi(\cdot)$

1.5. `aggregate()`: $\bigoplus(\cdot)$

1.6. `update()`: $\gamma(\cdot)$