[Week2/Day2] 선형대수 - 선형조합

승준·2021년 4월 27일
선형대수프로그래머스
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선형대수 - 선형조합

🔖선형결합(Linear Combination)

🤏🏻 열벡터와 행벡터의 곱에 의한 행렬 곱의 표현

m×nm \times n 행렬 AA와 n×pn \times p 행령 B의 곱은 AA의 열벡터(column vector) aia_i와 BB의 행백터(row vector) bjTb_j^T 의 곱으로 다음과 같이 표현 할 수 있다.

AB=aab1T+a2b2T+⋯+anbnTAB = a_ab_1^T + a_2b_2^T + \dots + a_nb_n^T

여기서 행렬 A와 B는 다음과 같이 각각 열벡터와 행벡터로 분할 하여 표현한 것이다.

A=[a1a2…an],[b1Tb2T⋮bnT]A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} b_1^T \\ b_2^T \\ \vdots\\ b_n^T \end{bmatrix}


📌행렬을 구조적으로 보기

행렬을 구조적으로 바라보는 가장 효과적인 방법은 다음과 같다.

행렬은 열벡터(column vector)의 리스트 이다.

A=[a11a12…a1na11a12a1n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮am1am2…amn]=[v1v2…vn]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{11} & a_{12} & & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{bmatrix}

여기서 viv_i는 행렬 AA의 ii-번째 열벡터이다. 특히, 각 열벡터는 mm-벡터이기 때문에, m×nm \times n 행렬은 mm-(차원)벡터가 nn개 있다고 해석하면 된다.


📌행렬@벡터 연산을 구조적으로 보기

이제, Ax는 다음과 같이 구조적으로 볼 수 있다.

AxAx는 행렬 AA가 가지고 있는 열벡터의 선형결합이다.

Ax=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮am1am2⋯amn][x1x2⋮xn]=[a1a2⋯an][x1x2⋮xn]=x1a1+x2a2+⋯+xnan\begin{aligned} A \mathbf{x}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right] &=\left[\begin{array}{cccc} \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right]\\ &=x_{1} \mathbf{a}_{1}+x_{2} \mathbf{a}_{2}+\cdots+x_{n} \mathbf{a}_{n} \end{aligned}

x1a1+x2a2+⋯+xnanx_1a_1 + x_2a_2 + \dots + x_na_n 을 자세히 살펴보면 다음과 같다. x1x_1가중치와 a1a_1 열벡터를 곱한다. 이말은 스칼라배 곱하기 벡터와 같은 말이다. 즉, 선형대수에서는 이처럼 벡터들(열벡터)에 대한 가중치 합을 특히 선형결합(Linear Combination)이라고 부른다.


📌선형결합(Linear Combination)

[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮am1am2⋯amn][x1x2⋮xn]=x1[a11a21⋮⋮am1]+⋯+xn[a1na2n⋮⋮amn]\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right]=x_{1}\left[\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ \vdots \\ a_{m 1} \end{array}\right]+\dots +x_{n}\left[\begin{array}{c} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ \vdots \\ \vdots \\ a_{m n} \end{array}\right]

AxAx의 결과는 행렬 AA가 가지고 있는 열벡터의 선형 결합으로만 한계가 지어진다.

즉, AxAx의 값이 아무리 복잡하더라도 가중치 합(weighted sum)에 의해 정해진다.


📌선형 시스템 Ax=b를 선형결합 관점에서 바라보기

예를 들어, 다음 시스템을 푼다고 가정하자.

[−13212−321−2][x1x2x3]=[1−9−3]\left[\begin{array}{rrr} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -9 \\ -3 \end{array}\right]

(좌항) 선형 조합으로 해석한 Ax

x1[−112]+x2[321]+x3[2−3−2]x1[−112]+x2[321]+x3[2−3−2]x_{1}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right]+x_{2}\left[\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right]+x_{3}\left[\begin{array}{r} 2 \\ -3 \\ -2 \end{array}\right]x_{1}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right]+x_{2}\left[\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right]+x_{3}\left[\begin{array}{r} 2 \\ -3 \\ -2 \end{array}\right]

아무리 복잡하게 적어도 A가 갖고 있는 열벡터를 조합해서 만들어 진 값들이다.

(우항) b

[1−9−3]\left[\begin{array}{r} 1 \\ -9 \\ -3 \end{array}\right]

그렇지만, 우항은 우리가 원하는 값이 이다. 위 선형시스템이 성립하기 위해서는 가중치의 합(좌항)으로 우항을 만들어 내야한다. 만들어 내지 못하면 불능인 것이다.

정리

행렬 AA의 가중치 합으로 선형조합 할 때 벡터 bb를 만들 수 있는 가중치 조합이 존재 한다면, 선형 시스템 Ax=nAx=n의 해는 존재한다. 그 해는 가중치 xix_i 들로 구성된 xx이다.

예제#1

[−13212−321−2][x1x2x3]=[1−9−3]\left[\begin{array}{rrr} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -9 \\ -3 \end{array}\right]

위 선형시스템의 문제의 해(solution)은 x=[2−13]\mathbf{x}=\left[\begin{array}{r}2 \\ -1 \\ 3\end{array}\right] 이다. 선형 조합을 통해 확인해보면 다음과 같다.

(좌항) 선형조합으로 해석한 Ax

(2) [−112]+(−1)[321]+(3)[2−3−2]\left[\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]+(-1)\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]+(3)\left[\begin{array}{r}2 \\ -3 \\ -2\end{array}\right]

(우항) b

[1−9−3]\left[\begin{array}{r}1 \\ -9 \\ -3\end{array}\right]

즉, 주어진 행렬 AA의 열벡터들을 좌항으로 조합(2, -1, 3) 했을 때, bb라는 벡터를 만들어 낼 수 있다. 즉, 조합 수(=가중치 조합)를 만들어 낸 것이다.



🎳Column Space(열공간)

행렬 A의 열벡터들에 대한 가능한 모든 선형결합(조합)의 결과를 모다 집합으로 구성 할 수 있을 것이다. 이들의 집합을 column space(열공간)이라고 하고 다음과 같이 표기한다.

col(A)col(A)
Consistent Linear System

선형 시스템 Ax=b가 해를 가지면(consistent), 다음을 만족한다.

b∈col⁡(A)\mathbf{b} \in \operatorname{col}(A)
Inconsistent Linear System

선형 시스템 Ax=b가 해가 없으면(inconsistent), 다음을 만족한다.

b∉col⁡(A)\mathbf{b} \notin \operatorname{col}(A)

예제#1

아래의 행렬 A의 col(A)col(A)는 3-차원 공간이다.

A=[−13212−321−2]A=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right]

따라서, 어떤 3-벡터 bb를 이용해 선형시스템 Ax=bAx=b를 구성한다고 하더라도, 해당 선형시스템의 해는 존재한다.

예제#2

아래의 행렬 A의 col(A)col(A)는 xy-평면이다.

A=[−13212−3000]A=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

따라서, xyxy-평면 상의 3-벡터 bb를 이용해 선형시스템 Ax=bAx=b를 구성하면, 해당 선형시스템의 해는 존재한다.

그러나, xyxy-평면을 벗어난 3-벡터 bb를 이용해 선형시스템 Ax=bAx=b를 구성하면, 해당 선형시스템의 해는 존재하지 않는다.

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