Autocovariance과 Autocorrelation 정리

시계열 분석에서 중요한 개념인 Autocovariance와 Autocorrelation개념에 대해서 알아보자

Autocovariance

$\gamma(h)=cov(x_t,x_{t+h})$

autocovariance는 auto와 covariance가 합쳐진 개념으로 auto는 자기 자신을, covariance는 공분산을 나타낸다. 그러면 의미 그대로 자기 자신을 공분산 한다는 것인데, 과연 autocovariance와 무엇이 다르다는 것일까?

autocovariance는 완전히 동일한 자신과 공분산을 구하는 것이 아닌, $h$라는 간격 만큼 이동시킨 자기자신과 공분산을 구하는 것이다. 이때 움직인 $h$는 $lag$라 한다.

즉 자기 자신에 해당하는 $X_t$ 와 $h$만큼 자기자신을 이동시킨 $X_{t+h}$와 공분산을 구하는 것을 Autocovariance라 하고, 이는 $h$를 매개변수로 가지는 함수가 생성되므로,$\gamma(h)$로 표현한다.

stationary 한 $X_t$에 대해서 $\gamma(h)$는 시간 $t$에 대해서 동일한 값을 가진다. (확인필요)

Autocorrelation

$\rho_X(h)=\frac{cov(X_t,X_{t+h})}{\sqrt{cov(X_t,X_t)}\sqrt{cov(X_{t+h},X_{t+h})}}=\frac{cov(X_t,X_{t+h})}{\sqrt{var(X_t)}\sqrt{var(X_{t+h})}}=\frac{\gamma(h)}{\sqrt{\gamma(0)}\sqrt{\gamma(0)}}=\frac{\gamma(h)}{\gamma(0)}$

Autocorrelation function은 의미론적으로 autocovariance function을 normalize한 것이다. rho의 밑으로 X를 작성하여, $X_t$에 대한 데이터임을 나타내며, lag에 해당하는 autocorrelation의 값을 구할 수 있다.

다음 수식에서 자기 자신에 대해서 공분산($cov$) 연산은 분산과 동일하여 $var$으로 바꿀 수 있고, stationary한 데이터에서는 모든 분산의 값은 동일하므로, lag가 0인 autocovariance 수식을 사용하여 나타낼 수 있다.

이를 바탕으로 다음과 같은 2가지 특징을 알 수 있다.

1. $|\gamma(h)|\leq\gamma(0)$
2. $\gamma(h)=\gamma(-h)$

1번 대한 증명으로는 autocorrelation $\rho_X(h)$는 $-1\leq\rho_X(h)\leq1$이 때문이다.

2번에 대한 증명은 다음과 같다.

$proof$
1. $\gamma(h) = \gamma(t+h-t) = cov(X_{t+h}, X_t)$
2. $\gamma(h) = \gamma(t-(t-h)) = cov(X_{t}, X_{t-h})=\gamma(-h)$