자동제어2

<라플라스 변환>

공학에서 말하는 제어는 어떤 주어진 물리계의 출력이 우리가 원하는 상태가 되도록 그 물리계의 입력 또는 파라미터를 조정해주는 것이다. 그러기 위해서는 입력과 출력사이에 성립되는 관계식이 주어져야 하는데, 이 입출력 관계식은 미분 방정식으로 기술될 때가 많다. 그러므로 제어 입력이나 제어계의 파라미터를 주어진 기준에 맞도록 하려면 이 미분방정식을 풀어서 그 해가 입력 또는 파라미터의 변화에 따라 어떻게 변하는가를 고찰하여야 한다.

이때, 선형계의 자동제어이론을 다루는 경우는 라플라스 변환법(Laplace transformation)이라고 하는 연산자법을 이용하는 것이 편하다.

라플라스 변환이란, 어떤 함수 $f(t)$를 $t$의 모든 양의 값에 대하여 정의된 주어진 함수라면, $f(t)$에 $e^{-st}$를 곱하고 이에 관하여 $0$에서 $\infin$까지 적분한다.

즉, 정리하면 다음과 같다.

이때, $F(s)$를 원함수 $f(t)$의 라플라스 변환이라 하고 $\mathscr{L}[f(t)]$ 로 표기한다.

그리고 원함수 $f(t)$를 역변환 또는 $F(s)$의 역(inverse)이라 하고

로 표기한다.

선형 미분방정식의 고전적인 해법과 비교해서 라플라스 변환법은 다음 이 두 가지 장점을 가지고 있다.

1. 동차방정식(homogeneous equation)의 해와 특수 적분의 해가 한 번의 연산으로 얻어진다.
2. 라플라스 변환은 미분방정식을 s에 관한 대수방정식으로 바꾼다. 여기서 얻어진 대수 방정식에 간단한 대수법칙을 적용시켜 쉽게 s영역에서의 해를 얻을 수 있다. 최종 해는 역라플라스 변환을 하여 얻어진다.

다음에는 여러가지 함수의 라플라스 변환 형태를 알아보도록 하자.