자연상수의 미분

$e^x$의 미분은 $e^x$이다. 과거에 이유를 배웠으나 까먹었기에 다시 한번 상기하고자 글을 쓰게 되었다.

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먼저 $f(x)= e^x$인 함수를 도함수로 표기하면

$\displaystyle\lim_{ Δx\rarr0}{f(x+Δx)-f(x)\over Δx}$ = $\displaystyle\lim_{ Δx\rarr0}{e^{x+Δx} -e^{x}\over Δx}$ 이며,

$\displaystyle\lim_{ Δx\rarr0}{e^{x+Δx} -e^{x}\over Δx}$ = $\displaystyle\lim_{ Δx\rarr0}{e^{x}(e^{Δx} -1)\over Δx}$ 이 된다.

여기서 $\displaystyle\lim_{ Δx\rarr0}{e^{x}(e^{Δx} -1)\over Δx}$의 $\displaystyle\lim_{ Δx\rarr0}{(e^{Δx} -1)\over Δx}=1$ 이다.

WHY?

$\displaystyle\lim_{ Δx\rarr0}{(e^{Δx} -1)\over Δx}=1$ 이라 할때

$(e^{Δx} -1) = t$라 하고, $e^{Δx} = t +1\rarr Δx=ln(t+1)$ 이다.

이 값을 $\displaystyle\lim_{ Δx\rarr0}{(e^{Δx} -1)\over Δx}$에 대입하면

$=\displaystyle\lim_{ t\rarr0}{t\over ln(t+1)}$

$=\displaystyle\lim_{ t\rarr0}{{1\over ln(t+1)}\over t}$

$=\displaystyle\lim_{ t\rarr0}{1\over{1\over t} ln(t+1)}$

$=\displaystyle\lim_{ t\rarr0}{1\over ln(t+1)^{1\over t}}$

위 값은 $e=\displaystyle\lim_{ t\rarr0}{ln(t+1)^{1\over t}}$ 에 의해

$\rarr\displaystyle{1\over ln(e)}$ 이 되며 결과적으로 1이 되기에 이 가정은 사실이 된다.

그렇기에 최종적으로

$\displaystyle\lim_{ Δx\rarr0}{e^{x}(e^{Δx} -1)\over Δx}$의 값은 $e^{x}$가 되므로

$e^x$의 미분은 $e^x$이다.