백준 17626: Four Squares/다이나믹 프로그래밍

문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

#include <iostream>
using namespace std;

const int Max = 50001;
int DP[Max];

int Min(int, int);

int main() {
    long long int n;
    cin >> n;
    DP[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        DP[i] = DP[1] + DP[i - 1];
        for (int j = 2; j * j <= i; j++) {
            DP[i] = Min(DP[i], DP[i - j * j] + 1);
        }
    }
    cout << DP[n] << '\n';
    return 0;
}

int Min(int a, int b) {
    return a < b ? a : b;
}

규칙 찾기가 너무 어려웠다.

우선 기준이 되는 지점은 확실히 제곱인 수인 4, 9, 16..으로 최소 값들이 1인 값들이었다.

초기 값으로 DP[1] =1 로 잡는다.

일반적으로 DP[n] 값을 DP[1] + DP[n-1]으로 잡아주고,

for문을 돌리는데, j*j가 i 보다 작을 때 까지,

현재의 DP[n] 혹은 DP[i-j*j]+1 값 중 더 작은 값이 최종 DP[n]의 값이 되도록 한다.