- 자바스크립트 숫자 연산과 숫자 표현, Number 객체, 일반적인 숫자 알고리즘, 무작위 숫자 생성
- 프로그래밍 언어에서 숫자 연산 덕분에 숫자 값 계산 가능, 자바스크립트 숫자 연산 목록은 아래와 같음
- + : 덧셈
1. 숫자 체계
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- 그림과 같이 숫자에 대해 64비트 부동 소수점 표현 사용
- 다음 예에서 값은 40으로 부호 비트가 1이면 해당 숫자가 음수 다음 여덞개의 비트는 지수 값 e를 나타내며 마지막으로 나머지 52비트가 분수 값을 나타냄
- 십진분수로 인해 자바스크립트에서 부동소수점 체계가 반오림 오류를 일으킬 수 있는데 0.1과 0.2를 정확히 표현할 수 없어 0.1 + 0.2 === 0.3의 결과는 false임
0.1 + 0.2 === 0.3;
- 0.1을 64비트 부동수소점 숫자로 제대로 표현할 수 없는 이유 이해를 위해 이진 표기법을 이해해야함
- 이진 표기법으로 십진 수를 표현할 때 문한 개의 수가 필요한 경우 가 많아 이로 인해 이진주사 2^n으로 표현(n은 정수)
- 0.1을 계산하려 할 시 긴 나눗셈이 끝나지않고 계속되어 이진수로 1010은 10인데 0.1(1/10)을 계산하려면 소수점 아래 수가 무한히 생김
2. 자바스크립트 숫자 객체
- 자바스크립에는 위 같은 문제 해결 위해 도움되는 Number 객체의 내장된 속성이 있 음
2_1. 정수 반올림
- 자바스크립트가 모든 숫자를 나타낼 때 부동소수점을 사용하기에 정수 나눗셈은 소용없음
- 예를 들어 자바에선 정수 나눗셈의 결과는 해당 나누기의 몫으로 5/4는 1이 몫이기에 결과는 1이지만 자바스크립트에선 5/4의 결과는 부동소수점인 1.25이다
- 자바에선 명시적으로 정수를 정수형으로 선언해야하기에 결과가 부동소수점이 될 수 없어 정수 나눗셈을 원하면 다음중 하나를 사용
Math.floor(0.9);
Math.floor(1.1);
Math.round(0.49);
Math.round(0.5);
Math.round(2.9);
Math.ceil(0.1);
Math.ceil(0.9);
Math.ceil(21);
Math.ceil(21.01);
2_2. Number.EPSLION
- Number.EPSLION은 두 개의 표현 가능한 숫자 사이의 가장 작은 간격을 반환해 이는 부동소수점 근사치르 활용해 분수가 제대로 표현되지 않는 문제를 해결하는데 유용
function numberEquals(x, y) {
return Math.abs(x - y) < Number.EPSILON;
}
0.1 + 0.2 == 0.3
numberEquals(0.1 + 0.2, 0.3);
- 위 함수는 두 수의 차이가 Number.EPSLION보다 작은지 검사해 작으면 true를 반환
- Number.EPSLION이 두 개의 표현 가능한 숫자 사이의 최소 차이라는 것을 기억 즉, 0.1+0.2와 0.3의 차이는 Number.EPSLION보다 작음
2_3. 최대치
- Number.MAX_SAFE_INTEGER는 가장 큰 정수 반환
Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1 === Number.MAX_SAFE_INTEGER + 2;
Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1.111 === Number.MAX_SAFE_INTEGER + 2.022;
- 두 수는 더 이상 커질 수 없기에 true를 반환하지만 부동소수점에 사용하면 제대로 동작하지 않아 false를 반환
- Number.MAX_VALUE는 가능한 가장 큰 부동 소수점을 반환
Number.MAX_VALUE + 1.111 === Number.MAX_VALUE + 2.022;
- Number.MAX_SAFE_INTEGER와 달리 위 코드는 배정밀도 부동소수점 표현을 사용하고 부동소수점에 대해서도 잘 동작
2_4. 최소치
- Number.MIN_SAFE_INTEGER는 가장 작은 정수를 반환
Number.MIN_SAFE_INTEGER - 1 === Number.MIN_SAFE_INTEGER - 2;
Number.MIN_SAFE_INTEGER - 1.111 === Number.MIN_SAFE_INTEGER - 2.022;
- 두 수가 더이상 작아질 수 없기에 true를 반환하지만 부동소수점과 함께 사용하면 제대로 동작하지 않음
- Number.MIN_VALUE는 가장 작은 부동소수점 수를 반환
- Number.MIN_VALUE가 가능한 가장 작은 부동소수점이기 때문에 음수가 아니라 실제로 Number.MIN_VALUE는 Number.MIN_SAFE_INTEGER보다 크며 Number.MIN_VALUE는 0에 가장 가까운 부동소수점이기에 다음과 같은 코드가 가능
Number.MIN_VALUE - 1 == -1;
- 위 코드가 true인 이유도 0 - 1 === -1과 비슷하기 때문
2_5. 무한
- Number.MAX_VALUE보다 큰 유일한 건 Infinity고 Number.MIN_SAFE_INTEGER보다 작은 유일한 것은 -Infinity
Infinity > Number.MAX_SAFE_INTEGER;
-Infinity < Number.MAX_SAFE_INTEGER
-Infinity -32323323 == -Infinity -1;
- true로 평가되는 이유는 -Infinity보다 작아질 수 없기 때문
2_6. 크기 순서
- 자바스크립트 숫자의 크기를 가장 작은 것부터 큰 것 순으로 요약하면 다음과 같음
-Infinity < Number.MIN_SAFE_INTEGER < Number.MIN_VALUE < 0 < Number.MAX_SAFE_INTEGER < Number.MAX_VALUE < Infinity
2_7. 숫자 알고리즘
- 숫자가 소수, 소인수분해인지 판단하는 알고리즘은 숫자와 관련된 가장 많이 논의되는 알고리즘 중 하나
2_7_1. 소수 테스트
- 숫자가 소수인지 알아보는 방법은 n을 2부터 n-1까지 수로 나눠 나머지가 0인지 확인
function isPrime(n) {
if (n <= 1) {
return false
}
for (let i = 2; i < n; i++) {
if (n % i==0) {
return false
}
}
return true
}
- 위 코드에 시간 복잡도는 O(n)으로 위 알고리즘은 0부터 n까지 모든 수 확인하기 때문
- 허나 위 알고리즘은 쉽게 개선 가능한 예로 메소드가 2부터 n까지 어떤 식으로 순회되는 생각해보면 알고리즘 수행 방식에서 패턴을 찾아 더 빠르게 만들 수 있음
- 2의 배수는 무시가능하며 최적화 가능한 부분이 더 있음
- 소수 나열 2,3,5,7,11,13,17,19,23 ...
- 2와 3을 제외한 모든 소스는 6k+-1(k정수) 형태를 지님
- n이 소수인지 알아보기 위해 반복문은 n의 제곱근까지만 확인 가능하는데 n의 제곱근이 소수가 아니면 n은 수학 정의에 의해 소수가 아님
function isPrime(n) {
if (n <= 1) return false
if (n <= 3) return true
if(n % 2 ==0 || n % 3 ==0) return false
for (let i = 5; i*i <= n; i=i+6) {
if (n % i==0 || n % (i+2) ==0) {
return false
}
}
return true
}
isPrime(123)
function is_prime (n) {
if (n < 3) return n > 1;
else if (n % 2 === 0 || n % 3 === 0) return false;
else if (n < 25) return true;
let i = 5;
while (i * i <= n ) {
if (n % i === 0 || n % (i + 2) === 0) return false;
i += 6;
}
return true;
}
2_7_2. 소인수분해
- 어떤 숫자의 소인수분해를 구하는 알고리즘 역시 유용
- 소수는 암호화와 해싱의 기반이 되며 소인 수 분해는 주어진 숫자를 만들기 위해 어떤 소수들이 곱해져야 하는지 구하는 과정
function primeFactors(n) {
while (n % 2 == 0) {
console.log(2);
n = n / 2;
}
for (var i = 3; i * i <= n; i = i + 2) {
while (n % i == 0) {
console.log(i);
n = n / i;
}
}
if (n > 2) {
console.log(n);
}
}
primeFactors(10);
- 위 알고리즘은 i로 나머지가 없이 나눌 수 있는 모든 수를 출력해 소수가 함수의 입력 값으로 전달된 경우 아무 수도 출력되지 않다가 마지막 조건문에서 n이 2보다 큰지 확인 후 큰 경우 n이 출력
2_7_3. 무작위 수 생성기
- 무작위 수 생성은 어떤 조건이 어떤 식으로 동작하는지 확인하는 데 있어 중요
- 자바스크립트는 숫자 생성을 위한 내장 함수인 Math.random() 존재
- Math.random()은 0과 1 사이 부동소수점 반환하며 1보다 큰 수를 얻기 위해 Math.random()에 범위를 곱하고 나서 곱한 값에 어떤 수를 더하거나 빼서 기준 범위를 만들면 됌
Math.random() * 100;
Math.random() * 25 + 5;
Math.random() * 10 - 100;
- 무작위 정수 얻기 위해선 Math.floor()와 Math.round(), Math.ceil()을 사용해 부동소수점을 정수로 만들면 됌
Math.floor(Math.random()) * 100;
Math.round(Math.random()) * 25 + 5;
Math.ceil(Math.random()) * 10 - 100;
연습문제 1번
- x와 y,p 세개 숫자에 대해 (x^y) % p 계산 (= 모듈러 제곱거듭)
- 여기서 x는 기저, y는 지수, p는 모듈러로 모듈러 제곱 거든은 모듈러에 대해 수행하는 종류의 제곱 거듭
- 컴퓨터 과학에 유용하며 공개 키 알고리즘 분야에 사용
function modularExponentiation(base, exponent, modulus) {
return Math.pow(base, exponent) % modulus;
}
modularExponentiation(4,3,5);
- 위 코드는 큰 지수를 다룰 수 없으며 암호화 알고리즘에 사용된다는 점을 기억 시 강력한 암호의 경우 대개 기저가 최소 256비트(78개 수)
- 가령 기저가 6x10^77이고 지수가 27 모듈러가 497이면 ((6x10)^77)^27은 매우 큰 수로 32비트 부동소수점에 저장할 수 없어 수학을 좀 더 심도있기 활용한 접근법을 사용해야 함
- 임의의 a와 b에 대해 다음 속성 성립
- 위 수학적 속성 활용해 1부터 지수까지 순회하며 현재 모듈러 마지막 모듈러와 곱함으로써 매번 재계산 가능
- 기저 4, 지수 3, 모듈러 5인 경우
c % m = (a b) % m
c % m = [(a % m) (b % m)] % m
4 ^ 3 & 5 = 64 % 5 = 4
value = (lastValue x base) % module:
value = (1 x 4) % 5 = 4 % 5 = 4
value = (4 x 4) % 5 = 16 % 5 = 1
value = (1 x 4) % 5 = 4 % 5 = 4
- 최종 코드는 아래와 같으며 시간복잡도는 O(n)으로 n은 지수값과 동일
function modularExponentiation(base, exponent, modulus) {
if (modulus == 1) return 0;
var value = 1;
for (var i = 0; i < exponent; i++) {
value = (value * base) % modulus;
}
return value;
}
연습문제 2번 - 소수 출력
- n보다 작은 모든 소수 출력 0부터 n까지 순회하면서 isPrime()이 true 평가되는 모든 소수 출력
function allPrimesLessThanN(n) {
for (var i = 0; i < n; i++) {
if (isPrime(i)) {
console.log(i);
}
}
}
allPrimesLessThanN(15);
연습문제 3번 - 소인수 집합 확인
- 소인수가 2 또는 3 또는 5뿐인 숫자를 못생긴 숫자라 정의 시 (11개 못생긴 숫자는 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15 이며 1이 관례상 포함) n개의 못생긴 숫자 찾기
- 숫자가 나머지 없이 나눠질 수 없을 때까지 숫자를 제수(2,3,5)로 나눠보고 숫자가 모든 제수에 의해 나눠질 수 있다면 나눗셈이 끝난 다음 1이 돼야 함
function maxDivide(number, divisor) {
while (number % divisor == 0) {
number /= divisor;
}
return number;
}
function isUgly(number) {
number = maxDivide(number, 2);
number = maxDivide(number, 3);
number = maxDivide(number, 5);
return number === 1;
}
- n에 대해 이를 반복하면 못생긴 숫자 목록 반환
function arrayNUglyNumbers(n) {
var counter = 0,
currentNumber = 1,
uglyNumbers = [];
while (counter != n) {
if (isUgly(currentNumber)) {
counter++;
uglyNumbers.push(currentNumber);
}
currentNumber++;
}
return uglyNumbers;
}
arrayNUglyNumbers(12);
요약
- 자바스크립트 모든 숫자는 64비트 부동소수점 형태
- 가장 작은 부동소수점 증가 얻기 위해선 Number.EPSLION을 사용
- 자바스크립트 가장 큰수와 작은 수는 다음 등식과 같이 요약
jsInfinity < Number.MIN_SAFE_INTEGER < Number.MIN_VALUE < 0 < Number.MAX_SAFE_INTEGER < Number.MAX_VALUE < Infinity
- 소수 검증과 소인수분해는 암호화 같이 다양한 컴퓨터 과학 분야에 사용되는 개념
- 무작위 수 생성 위해 Math.random()사용