[Java] 약수의 개수 알고리즘

프로그래머스 Lv.1을 밀던 중 기사단원의 무기 문제를 풀게 됐다.

내용은 다음과 같다.

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_숫자나라 기사단의 각 기사에게는 1번부터 number까지 번호가 지정되어 있습니다. 기사들은 무기점에서 무기를 구매하려고 합니다.

각 기사는 자신의 기사 번호의 약수 개수에 해당하는 공격력을 가진 무기를 구매하려 합니다. 단, 이웃나라와의 협약에 의해 공격력의 제한수치를 정하고, 제한수치보다 큰 공격력을 가진 무기를 구매해야 하는 기사는 협약기관에서 정한 공격력을 가지는 무기를 구매해야 합니다.

예를 들어, 15번으로 지정된 기사단원은 15의 약수가 1, 3, 5, 15로 4개 이므로, 공격력이 4인 무기를 구매합니다. 만약, 이웃나라와의 협약으로 정해진 공격력의 제한수치가 3이고 제한수치를 초과한 기사가 사용할 무기의 공격력이 2라면, 15번으로 지정된 기사단원은 무기점에서 공격력이 2인 무기를 구매합니다. 무기를 만들 때, 무기의 공격력 1당 1kg의 철이 필요합니다. 그래서 무기점에서 무기를 모두 만들기 위해 필요한 철의 무게를 미리 계산하려 합니다.

기사단원의 수를 나타내는 정수 number와 이웃나라와 협약으로 정해진 공격력의 제한수치를 나타내는 정수 limit와 제한수치를 초과한 기사가 사용할 무기의 공격력을 나타내는 정수 power가 주어졌을 때, 무기점의 주인이 무기를 모두 만들기 위해 필요한 철의 무게를 return 하는 solution 함수를 완성하시오._

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다음은 내가 처음 짠 코드다.

class Solution {
    public int solution(int number, int limit, int power) {
        int requiredIron = 0;
        for(int i = 1 ; i <= number ; i++){
            int expectedIron = sumDivisorCount(i); // 예상 요구량
            if(expectedIron <= limit){ // 초과하지 않았을경우
                requiredIron += expectedIron;
            }
            else{ //초과했을 경우
                requiredIron += power;
            }
        }
        return requiredIron;
    }
    // 인수로 받은 정수의 약수의 개수를 반환하는 함수
    public static int sumDivisorCount(int number){
        int answer = 1;
        for(int i = 1 ; i <= number / 2 ; i++){
            if(number % i == 0){
                answer += 1;
            }
        }
        return answer;
    }
}

다만 위와 같이 작성 시 테스트 케이스에서

다음과 같이 연산에 상당한 시간이 소요된다. 너무 찜찜했기에... 약수의 개수를 구하는 알고리즘을 찾아봤다.

요약하자면,

어떤 수 n의 약수 d를 하나 찾았다면, 나머지 다른 약수 하나는 d/n인게 확실시 된다. (ex. 10의 한 약수가 2라면 나머지 한 짝은 2/10 = 5)

따라서 우리는 전체 약수의 절반만 구하면 나머지 절반의 약수는 필연적으로 알 수 있게 되는데,
어떤 수 n의 약수의 개수의 절반을 구하려면 √n 까지의 약수만 구하면 된다.
√n ~ n까지의 수는 필요가 없어진다는 것이다.

예를 들어 30의 약수를 구한다고 해보자.

30의 약수에는
1, 3, 5, 6, 10, 30 이 있다.
√30 = 5.xxxx이므로 우리는 1, 3, 5를 알면 나머지 페어들을 구할 수 있는 것이다.

이것을 알면 시간복잡도를 √n까지 줄일 수 있으므로 확연한 차이가 있다.
만약 n이 25라면(약수의 개수가 홀수라면),
1, 5, 25 이 모든 약수가 되므로 √n=약수 인 지점이 존재한다. 이 경우는 개수를 1만 더 더해주면 된다.
이를 바탕으로 약수의 개수를 구하는 sumDivisorCount함수를 재구성하면,

public static int sumDivisorCount(int number){
        int answer = 0; //number의 총 약수의 개수
        //i*i <= number에서 i <= √number (number >= 0)
        for(int i = 1 ; i*i <= number ; i++){
            if(i*i == number){ 
            //i = √number 인 경우 count++
                answer += 1;
            }
            else if(number % i == 0){ 
            //약수 발견했을 경우 짝도 필연적으로 존재하므로 count += 2;
                answer += 2;
            }
        }
        return answer;
    }

결과