문제

n가지 종류의 동전이 있다. 각각의 동전이 나타내는 가치는 다르다. 이 동전을 적당히 사용해서, 그 가치의 합이 k원이 되도록 하고 싶다. 그 경우의 수를 구하시오. 각각의 동전은 몇 개라도 사용할 수 있다.

사용한 동전의 구성이 같은데, 순서만 다른 것은 같은 경우이다.

입력

첫째 줄에 n, k가 주어진다. (1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ k ≤ 10,000) 다음 n개의 줄에는 각각의 동전의 가치가 주어진다. 동전의 가치는 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 경우의 수를 출력한다. 경우의 수는 $2^{31}$보다 작다.

풀이

n개의 동전이 각각 주어졌을 때 동전을 여러개 사용하여 k를 만드는 경우의 수를 구하면 되는 문제이다.

k =1 일때 부터 규칙을 찾아보자. ( 1, 2, 5 동전이 주어졌다고 가정)

k = 1 일 때 1원 -> 1가지
k = 2 일 때 1원 2개 , 2원 1개 -> 총 2가지
k = 3 일 때 1원 3개 , 1원 1개 + 2원 1개 -> 총 2가지
k = 4 일 때 1원 4개 , 1원 2개 + 2원 1개 , 2원 2개 -> 총 3가지
k = 5 일 때 1원 5개 , 1원 3개 + 2원 1개 , 1원 1개 + 2원 2개, 5원 1개 -> 총 4가지
...

이렇게 하면 규칙이 보일 줄 알았는데,,, 찾기 쉽지 않았다.

다르게 생각해보면,
1. 1원만을 이용하여 k=1 부터 10까지 하는 경우의 수는 [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 이다.
2. 1, 2원을 이용하게 되면 [1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6]이 된다.
3. 1, 2, 5원을 이용하면 [1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10]이 된다.

이쯤하면 먼가 규칙이 보일것이다.
dp[i] = i번째 수를 만드는 경우의 수라고 했을 때, dp[10]은 dp[9] + dp[8] + dp[5] 가 된다.

따라서 dp[j] += dp[j - coin] 이라는 공식이 나올 수 있다.

소스

import java.util.*;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);

		int n = sc.nextInt();
		int k = sc.nextInt();

		int[] coins = new int[n];
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			coins[i] = sc.nextInt();
		}

		int[] dp = new int[k + 1];
		dp[0] = 1;

		for (int i = 0; i < n; i++) {
			int coin = coins[i];
			for (int j = coin; j <= k; j++) {
				dp[j] += dp[j - coin];
			}
			// System.out.println(Arrays.toString(dp));
		}

		System.out.println(dp[k]);
	}

}