1. Linear Equations in Linear Algebra

7. Introduction to Linear Transformation

Transformation

• A transformation (or function or mapping) $T$ from $R^n$ to $R^m$ :
  rule that assigns to each vector x in $R^n$ a vector T(x) in $R^m$
• matrix transformation : x |ㅡ> Ax

Linear Transformation

• A transformation T is linear :
  T(u + v)=T(u)+T(v)
  T(cu)=cT(u)
• Every matrix transformation is a linear transformation

  8. The Matrix of a Linear Transformation

  Theorem 10.
  T: $R^n$->$R^m$이 linear transformation 이면 아래를 만족하는 matrix는 유일하다
  T(x)=Ax (for all x in $R^n$)

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  $e_j$가 identity matrix의 $j$번째 열 일때 A=[T($e_1$) ... T($e_n$) ]와 같이 표현된다.
  A는 linear transformation T의 standard matrix

Onto

• $R^n$에서 $R^m$으로의 mapping T가 onto $R^m$ : 각각의 $b$ in $R^m$는 적어도 하나의 x(in $R^n$)의 이미지이다
• 함수의 치역과 공역이 일치하는 함수(전사함수)
• T(x)=b 가 $R^m$에 있는 각각의 b에 대해 적어도 하나의 해를 갖는다

One to One

• $R^n$에서 $R^m$으로의 mapping T가 one to one : 각각의 $b$ in $R^m$는 많아야 하나의 x(in $R^n$)의 이미지이다
• 일대일 함수(단사함수)
• T(x)=b 가 $R^m$에 있는 각각의 b에 대해 하나의 해를 갖거나 해가 없다

Theorem 11.
T가 linear transformation이라하자
T는 one to one <=> T(x)=0가 오직 trivial solution 만 갖는다

Theorem 12.
T가 linear transformation 이고 A가 그 standard matrix일 때
T maps $R^n$ onto $R^m$ <=> A의 열이 span $R^m$
T가 one to one <=> A의 열이 linearly independent