최단 경로 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 있는데,
상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어있다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘 이렇게 3가지정도이다.

최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현하는데, 각 지점은 그래프에서 노드로 표현되고, 지점과 각 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현된다.

최단 경로 알고리즘에는 그리디 알고리즘, 다이나믹 프로그래밍이 적용된다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘(dijkstra)

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다익스트라 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.
다익스트라 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다.
왜 냐 면, 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.

간략한 순서
(1) 출발 노드를 설정한다.
(2) 최단 거리 테이블을 초기화한다.
(3) 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
(4) 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
(5) 위 과정에서 (3), (4)를 반복한다.

다익스트라 알고리즘 특징
1. 그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 작은 비용의 노드를 선택해 반복
2. 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단거리는 고정되어 더이상 바뀌지 않는다. -> 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단거리를 확실하게 찾기 때문
3. 수행한뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단거리정보가 저장된다.

간단한 다익스트라 알고리즘

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간단한 다익스트라 알고리즘은 O(V^2)의 시간 복잡도를 가진다. 여기서 V는 노드의 개수이다.
처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다.
이후에 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차탐색)한다.

BFS/DFS/다익스트라 알고리즘에서 배열 개수 + 1 을 한 이유 : 인덱스로 바로 접근하려고

간단한 다익스트라 알고리즘

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #무한

#노드수, 간선수
n, m = map(int, input().split())
#시작노드
start = int(input())
#각 노드에 연결되어있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트
graph = [[] for i in range(n + 1)]
#방문한적이 있는지 확인하는 리스트
visited = [False] * (n + 1)
#최단거리 리스트를 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

#모든 간선에 대한 정보를 입력받기 
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    #a노드에서 b노드로 가는 비용이 c
    graph[a].append((b, c))

#방문하지 않은 노드중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF #제일 작은 값을 무한이라고 초기화
    index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    #시작노드에대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    #시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

#모든 노드로 가기위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    #도달할수없는 경우, INF라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INF")
    #도달할수잇는 경우 출력
    else: print(distance[i])

전체 노드의 개수가 5000개 이하라면 일반적으로 이 코드로 문제를 풀 수 있지만,
노드의 개수가 10000개를 넘어가면 이 코드로는 문제를 해결하기 어렵다.
노드의 개수 및 간선의 개수가 많을 때는 개선된 다익스트라 알고리즘을 이용해야한다.

개선된 다익스트라 알고리즘

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이 방법을 이용하면 최악의 경우에도 시간복잡도가 O(ElogV)로 보장된다. 여기서 V는 노드의 개수, E는 간선의 개수이다.

간단한 다익스트라 알고리즘은 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로 탐색해야했다.
개선된 다익스트라 알고리즘은 힙 자료구조를 사용한다.

힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다.

힙 설명

힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나이다.
우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은데이터를 가장 먼저 삭제한다.

파이썬에서는 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue혹은 heapq를 사용할 수 있다.
일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작하기 때문에 수행 시간이 제한된 상황에서는 heapq사용을 권장한다.

우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙혹은 최대 힙을 이용한다.
최소힙은 '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제'된다. 최대힙은 '값이 큰 데이터가 먼저 삭제'된다.
파이썬은 최소힙을 지원. 만약 최대힙처럼 사용하려면, 음수부호를 활용하면 된다.

개선된 다익스트라 알고리즘은 최단 거리를 저장하기 위한 1차원 리스트(최단거리 테이블)는 아까와 같이 그대로 이용하고, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다고 보면 된다.

정리
단계마다 방문하지 않은 노드중에서 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하기위해 힙 자료구조 이용
다익스트라 알고리즘 기본동작 원리는 동일하지만, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기위해 힙 자료구조를 추가로 이용, 최단거리가 짧아야하므로 최소힙사용.

간단한 다익스트라 알고리즘과 비교하면 get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다는 특징이 있다.

'최단 거리가 가장 짧은 노드'를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체 하면 되기 때문

개선된 다익스트라 알고리즘

import heapq
import sys
from turtle import distance
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

#노드의 개수 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for _ in range(n + 1)]
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    #시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    
    while q: #큐가 비어있지 않다면
        #가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        #현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        #현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드를 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1] #i[1] 거리값
            #현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
                
dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우 INF출력
    if distance[i] == INF:
        print("INF")
    else:
        print(distance[i])

다익스트라 = 1차원 리스트