[메이플스토리] 골드리치의 비밀금고 당첨을 위해

mystic6113·2024년 5월 13일

메이플스토리

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메이플스토리에는 '골드리치의 비밀금고' 라는 이벤트가 존재합니다.
이 이벤트의 규칙은 다음과 같습니다.

유저는 1부터 9,999,999 사이의 번호를 응모할 수 있으며, 최대 15개의 번호를 응모할 수 있습니다.

각 라운드별 한 번만 응모된 번호 중 가장 작은 번호부터 N개의 번호까지 응모한 유저에게 상품을 줍니다.

따라서, 이벤트에 당첨되기 위해서는 남들이 안 쓰는 번호 중 작은 번호를 응모해야 함을 알 수 있습니다.
그렇다면, '흥미롭지 않은 수 를 응모하는 것이 당첨 확률이 높지 않을까' 라는 생각을 할 수 있게 됩니다.

가정: 모든 자연수들은 ‘흥미로운가(Interesting)’?

흥미로운 수라고 하면, 1234, 2468과 같이 규칙성을 띄거나 1004, 8282과 같이 특정한 의미를 지닌 수라고 생각할 수 있습니다.

1부터 지닌 특정한 의미 를 나열해보면 다음과 같습니다.

1: $1^n = 1$
2: 가장 작은 소수
3: 가장 작은 홀수인 소수
4: 가장 작은 합성
5: (가장 작은 소수) + (두번째로 작은 소수)
6: 완전수
...

이런 방법으로 모든 자연수를 표현할 수 있을까요?

모순의 증명: 모든 자연수들이 흥미롭지 않다고 가정 (귀류법)

$U:$ Uninteresting Number Set 이라고 할 때, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

U \sube N ( U \ne \empty)

이때, U는 자연수를 원소로 갖는 집합이기 때문에, least-number principle에 의해 가장 작은 원소 x가 존재합니다.
- Least-number principle: 공집합이 아닌 모든 자연수의 부분집합은 최소 원소가 존재한다.
- 유리수에 대해서는 성립하지 않습니다.
- 다음과 같은 집합 X의 최소 원소는 정의할 수 없기 때문입니다.

X = \{x \in Q \| x > 1\}

이 최소 원소 x에 대해, ‘집합 U에서 가장 작은 원소’라는 ‘흥미로운’ 점이 존재한다. 따라서, 모순이 발생합니다.

문제점: ‘흥미롭다(Interesting)’의 정의가 모호하다.

흥미롭다(Interesing)는 것은 매우 주관적이다. 따라서, 듣는 사람에 따라서 ‘흥미롭다고’ 느낄 수도 있고, 아닐 수도 있다.
사실, 위의 귀류법을 사용한 증명도 모호하다. 정확히는 ‘증명’이 아닌, ‘반문’이기에, 정확한 증명이라고 보기는 어렵다.

추가)OEIS: On-line Encyclopedia of Integer Sequence

온라인 정수열 사전으로, 모든 ‘흥미로운 수열’들을 가진 정수열 사전입니다.
OEIS는 모든 ‘흥미로운 수열’을 가지고 있기에, ‘흥미로운’ 자연수라면 OEIS가 가지고 있을 것이며, 역의 관계도 성립합니다.(iff) 따라서, OEIS에 존재하지 않는다면, ‘흥미로운’ 수가 아닙니다.
이 사이트는 모든 자연수를 가지지 않기에, ‘OEIS가 가지지 않은 수 중 가장 작은 수’, x가 존재함을 알 수 있습니다.
하지만, 이 과정에서 모순이 발생합니다.
- x는 OEIS에 포함되어있지 않기에, ‘흥미로운’ 자연수이고, 이로 인해 OEIS에 포함되어야 한다.
- x는 ‘흥미롭지 않은 수’이기에, OEIS에 포함되어서는 안된다.
따라서, OEIS는 모든 ‘흥미로운 수열’을 가지고 있지 않습니다.