[알고리즘] 최소 스패닝 트리

스패닝 트리 = 신장 트리

스패닝 트리

노드 간 경로가 오직 하나뿐(최소 연결이기 때문)

그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리

그래프의 최소 연결 부분 그래프

• 최소 연결 = 간선의 수가 가장 적다

• n개의 정점을 가지는 그래프의 최소 간선의 수는 (n-1)개이고, (n-1)개의 간선으로 연결되어 있으면 필연적으로 트리 형태가 되고 이것이 바로 Spanning Tree가 된다

스패닝 트리의 특징

DFS, BFS를 이용해서 그래프에서 스패닝 트리를 찾을 수 있다.

하나의 그래프에는 많은 신장 트리가 존재할 수 있다.

스패닝 트리는 트리의 특수한 형태이므로 모든 정점들이 연결되어 있어야 하고 사이클을 포함해서는 안된다.
(트리의 정의가 사이클 없이 모든 정점이 연결되어있는 그래프이다.)

스패닝 트리는 그래프에 있는 n개의 정점을 n-1개의 간선으로 연결한다.

정리

스패닝 트리의 특징
1. n개의 정점을 가지는 그래프에 대해 반드시 n-1개의 간선만을 사용해야 한다.
2. 사이클이 포함되어서는 안된다.

최소 스패닝 트리(MST)

MST = Minimum Spanning Tree = 최소 신장 트리

스패닝 트리 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 트리

최소 스패닝 트리(MST)의 특징

각 간선의 가중치가 동일하지 않을 때 단순히 가장 적은 간선을 사용한다고 해서 최소 비용이 얻어지는 것은 아니다.

MST는 간선에 가중치를 고려하여 최소 비용의 스패닝 트리를 선택하는 것을 말한다.

정리

1. 간선의 가중치의 합이 최소여야 한다(NEW)
2. n개의 정점을 가지는 그래프에 대해 반드시 n-1개의 간선만을 사용해야 한다.
3. 사이클이 포함되어서는 안된다.

최소 스패닝 트리(MST)의 사용 사례

통신망, 도로망, 유통망에서 길이, 구축 비용, 전송 시간등을 최소로 구축하려는 경우

최소 스패닝 트리(MST)의 구현 방법

1. Kruskal MST 알고리즘
2. Prim MST 알고리즘

참고 사이트

1. [알고리즘] 최소 신장 트리(MST, Minimum Spanning Tree)란