[부록] 교환, 결합, 분배법칙

교환법칙 🔄

'교환법칙이 성립한다'란 집합 $S$의 원소 $a,b$가 임의의 연산 △에 대해 다음을 만족하는 것을 말한다.
$a△b=b△a$

$a=1,\;b=2\;$로 가정하고 사칙연산에 대한 예시를 보자.

교환법칙, 덧셈 ➕

$a+b=1+2=3$

$b+a=2+1=3$

$3=3$

덧셈은 교환법칙이 성립한다.

교환법칙, 뺄셈 ➖

$a-b=1-2=-1$

$b-a=2-1=1$

$-1\neq1$

뺄셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.

교환법칙, 곱셈 ✖

$a*b=1*2=2$

$b*a=2*1=2$

$2=2$

곱셈은 교환법칙이 성립한다.

교환법칙, 나눗셈 ➗

$a/b=1/2=\cfrac{1}{2}$

$b/a=2/1=2$

$\cfrac{1}{2}\neq2$

나눗셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.

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결합법칙 🤝

'결합법칙이 성립한다'란 집합 $S$의 원소 $a,b,c$가 임의의 연산 △에 대해 다음을 만족하는 것을 말한다.
$(a△b)△c=a△(b△c)$

$a=1,\;b=2\;c=3$으로 가정하고 사칙연산에 대한 예시를 보자.

결합법칙, 덧셈 ➕

$(a+b)+c=(1+2)+3=6$

$a+(b+c)=1+(2+3)=6$

$6=6$

덧셈은 결합법칙이 성립한다.

결합법칙, 뺄셈 ➖

$(a-b)-c=(1-2)-3=-4$

$a-(b-c)=1-(2-3)=2$

$-4\neq2$

뺄셈은 결합법칙이 성립하지 않는다.

결합법칙, 곱셈 ✖

$(a*b)*c=(1*2)*3=6$

$a*(b*c)=1*(2*3)=6$

$6=6$

곱셈은 결합법칙이 성립한다.

결합법칙, 나눗셈 ➗

$(a/b)/c=(1/2)/3=\cfrac{1}{6}$

$a/(b/c)=1/(2/3)=\cfrac{3}{2}$

$\cfrac{1}{6}\neq\cfrac{3}{2}$

나눗셈은 결합법칙이 성립하지 않는다.

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분배법칙 👐

여기 파란 사각형과 빨간 사각형이 있다.

파란 사각형의 가로 변의 길이는 $a$, 세로 변의 길이는 $c$이며

빨간 사각형의 가로 변의 길이는 $b$, 세로 변의 길이는 $c$이다.

이 사각형들의 넓이의 합을 어떻게 하면 구할 수 있을까?

대표적으로 두 가지 방법이 있을 것이다.

첫 번째 방법 ①

첫 번째는 각각 사각형의 넓이를 따로 구해서 더하는 것이다.

$파란\;사각형\;넓이 = a*c$

$빨간\;사각형\;넓이 = b*c$

$두\;사각형\;넓이의\;합 = (a*c) + (b*c)$

두 번째 방법 ②

두 번째는 두 사각형을 하나의 큰 사각형으로 보고 한 번에 구하는 것이다.

$합친\;사각형\;가로\;변\;길이=a+b$

$합친\;사각형\;세로\;변\;길이=c$

$합친\;사각형\;넓이=(a+b)*c$

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일반화 ❗

두 가지 방법으로 두 사각형의 넓이의 합을 구해보았다.

두 사각형의 넓이를 각각 구해서 합해도

하나의 큰 사각형으로 보고 넓이를 한 번에 구해도

사각형들의 넓이는 변하지 않으므로 두 값은 같다고 할 수 있으며

이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

$합친\;사각형\;넓이=두\;사각형\;넓이의\;합=(a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

이것이 바로 분배법칙이다.

$c$를 $a$와 $b$에 분배해서 각각 계산해주는 것이다.

이렇듯 좌변을 우변의 형태로 나타내는 것을 '전개한다'라고 한다.

이 식의 곱셈($*$)을 임의의 연산($△$)로 표현하면 분배법칙의 식의 얻을 수 있다.

'분배법칙이 성립한다'란 집합 $S$의 원속 $a,b,c$가 임의의 연산 $△$에 대해 다음을 만족하는 것을 말한다.
$a△(b+c)=(a△b)+(a△c)$ 좌분배법칙
$(b+c)△a=(b△a)+(c△a)$ 우분배법칙

좌분배법칙과 우분배법칙 둘 다 성립할 경우에 분배법칙이 성립한다고 한다.

여기서 주의할 점이 하나 있는데 분배법칙은 교환법칙과는 무관하다.

교환법칙이 성립하지 않으면서 분배법칙은 성립할 수도 있다.