항등원 💫

예상한 대로 항등원은 원이 아니다!

항등원, 恒等元은 한자어이니 뜻을 풀어보자.

한 글자씩 보면 다음과 같은데 잘 몰라도 상관없다.

한글 뜻에만 집중해보자.

항상 항, 恒

같을 등, 等

으뜸 원, 元

항상 같다는 것은 알겠는데 뜬금없이 으뜸이 무슨 소린지 모르겠다.

앞서 집합을 구성하는 요소가 원소라고 했었는데 그 원소의 원이 바로 이 으뜸 원이다.

그래서 이를 한글로 '항상 같은 원소' 정도로 해석할 수 있을 것 같다.

한자의 뜻을 알아도 딱히 감이 안 오지 않는가?

그런데 신기하게도 항등원이 뭔지 몰라도 항등원을 찾는 것은 어렵지 않을 것이다.

퀴즈를 하나 내보겠다.

$?+1=1\;+\;? = 1$

1과 ?를 더해서 1이 되려면 ?는 몇이어야 하는가?

0이라고 답한 사람이 있다면 정답이며 항등원을 잘 찾았다!

1에 0을 백번 더하든 천번 더하든 결과는 1이다.

0은 얼마든지 더해도 결과가 처음과 항상 같은 원소인 것이다!

그래서 0은 덧셈에 대한 항등원이라고 한다.

1이 아니라 그 어떤 수에 0을 몇 번이고 더해도 결과는 처음과 항상 같기 때문이다.

덧셈에 대한 항등원을 특수한 집합을 정하는 기준으로 사용하기 위해 정리하면 다음과 같다.

집합 내 다른 원소 a와 덧셈한 결과가 a가 되게 하는 원소 e ( 즉, 0 )

이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

$a + e = e + a = a$

이쯤 되면 눈치챈 사람도 있겠지만 항등원은 또 있다!

퀴즈를 하나 더 내보겠다.

$?*7=7\;*\;?=7$

7과 ?를 곱해서 7이 되려면 ?는 몇이어야 할까?

어려운 퀴즈를 기대했다면 미안하다.

정답은 1이며 이는 곱셈에 대한 항등원이라고 한다.

1은 어떤 수에 몇 번을 곱해도 결과가 항상 처음과 같다.

곱셈에 대한 항등원도 특수한 집합을 정하는 기준으로 사용하기 위해 정리하면 다음과 같다.

집합 내 다른 원소 a와 곱셈한 결과가 a가 되게 하는 원소 e ( 즉, 1 )

이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

$a * e = e * a = a$

덧셈과 곱셈에 대한 항등원에 대해 알아보았다.

이제 한 가지 개념만 더 익히면 비트코인의 핵심인 타원 곡선 암호의 핵심인 유한체를 정의할 수 있게 된다!

다음은 유한체가 되기 위한 마지막 조건 역원에 대해 알아보자.

끝? 🤔

그런데 의문이 하나 생긴다.

뺄셈과 나눗셈에 대한 항등원도 있을까?

궁금한 사람들을 위해 해당 내용에 대한 부록을 첨부한다.

> 뺄셈과 나눗셈의 항등원 <

점검 📄

Q1. 자연수 2147483647의 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원을 구하시오.