닫혀 있다 🚪

여기 세상 모든 자연수를 모아놓은 자연수 집합이 있다.

$S_{자연수} = \{\; 1, 2, 3, 4, 5,\; ... \;\}$

큰 수여도 좋고 작은 수여도 좋으니 아무 숫자나 마음에 드는 자연수 2개를 뽑아서 더해보자.

그 수는 자연수인가?

아마도 그럴 것이다.

자연수가 아니라면 다시 계산해보는 것을 추천한다...!

백번이고 천번이고 숫자를 뽑아서 더해도 결과인 수는 자연수일 것이다.

신기하지 않은가? 필자는 이런 생각을 해본 적이 없어서 처음 봤을 때 너무나 신기했다.

자연수 집합에 속한 자연수들의 덧셈 결과가 하나도 빠짐없이 다시 자연수 집합에 속하는 것이다!

이것을 '자연수 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있다'고 한다.

그럼 자연수 집합이 나머지 사칙연산들에 대해서도 닫혀 있는지 알아보자.

곱셈은 여러 번 더하는 것과 같으므로 자연수 집합은 곱셈에 대해서도 닫혀 있다.

하지만 뺄셈을 했을 경우에는 결과 값이 음의 정수가 될 수 있고,

나눗셈을 했을 경우에는 유리수나 실수가 될 수 있기 때문에 뺄셈과 나눗셈에 대해서는 닫혀 있지 않다.

정수나 유리수나 실수는 자연수 집합에 속하지 않기 때문이다.

이를 일반화한다면 다음과 같다.

어떤 집합 A의 원소들에 대한 특정 연산의 결과가 다시 집합 A에 속할 경우 '집합 A는 그 연산에 대해 닫혀 있다'고 한다.

유한체라는 특수한 집합을 이해하기 위해 알아야 하는 개념 중 '닫혀 있다'에 대해 알아보았다.

이 개념을 이해했으면 나머지는 식은 죽 먹기일 것이다!

점검 📄

Q1. 집합 S = { -1, 0, 1 }는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있는가?