행렬식

정의

행렬식(Determinant)은 체 $F$ 위에서 정의된 $n \times n$ 행렬을 입력받아 스칼라를 출력하는 함수, 즉 $\det: (F^n)^2 \mapsto F$로 정의할 수 있다. 여기서 행렬은 곧 선형사상이라는 관점에서 봤을 때, 행렬식은 함수를 입력받아 특정 값을 내놓는 일종의 범함수라고 볼 수도 있다.

행렬식의 일반적인 정의는 다음과 같다.

1. 행렬식은 $n \times n$ 행렬에서 스칼라로 가는 범함수, 즉 $\det: (F^n)^2 \mapsto F$이다.
2. 다중 선형성 : 각각의 열벡터 $v_i, u \in F^n$와 임의의 스칼라 $a$에 대해 다음을 만족한다.
   • $\det(v_1, \cdots, av_i + u, \cdots, v_n) = a\det(v_1, \cdots, v_i, \cdots, v_n) + \det(v_1, \cdots, u, \cdots, v_n)$
3. 반교대성 : 임의의 열벡터 두 개의 위치를 바꾸면 부호가 반전된다.
   • $\det(v_1, \cdots, v_i, \cdots, v_j, \cdots, v_n) = -\det(v_1, \cdots, v_j, \cdots, v_i, \cdots, v_n)$
4. 단위 행렬의 값 : 단위 행렬 $I_n$의 행렬식 값은 1이다.
   • $\det(I_n) = 1$

임의의 $n \times n$ 행렬 $A$에 대해, 행렬식 $\det$는 다음과도 같이 표기된다.

또한, 위의 정의 외에 일반적으로 조금 더 '익숙한' 행렬식의 정의는 다음과 같다.

$\det(A) = |(a_{ij})_{n\times n}| \equiv \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i\sigma(i)}$

여기서 $\sigma$는 치환(permutation)이고, $sgn(\sigma)$는 치환의 부호 함수이다. 위 두 정의는 동등하나, 증명은 생략한다.

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행렬식의 성질

일반적으로 $n\times n$ 행렬 $A, B$와 행렬식 $\det$에 대해 다음이 성립한다.

• 임의의 스칼라 $k$에 대해, $\det(kA) = k^n\det(A)$
• $A$의 전치행렬 $A^T$에 대해, $\det(A) = \det(A^T)$
• $\det(AB) = \det(A)\det(B) = \det(BA)$
• $A$의 역행렬이 존재할 경우, $\det(A) \neq 0$ 및 $\det(A^{-1}) = (\det(A))^{-1}$
• $A$를 구성하는 행(혹은 열)벡터 중 하나가 영벡터일 경우, $\det(A) = 0$