[알고리즘]크루스칼(최소 신장 트리), 위상정렬

강의 링크
(이코테 2021 강의 몰아보기) 8. 기타 그래프 이론

최소 신장 트리
최소한의 비용으로 그래프의 모든 노드들을 거쳐가는 트리.

크루스칼 알고리즘
최소 신장 트리 알고리즘이다. 그리디 알고리즘이다.

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인.
   가) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함.
   나) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않음.
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복.

코드

import sys

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)

edges = []
result = 0

for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    edges.append((cost, a, b))

edges.sort()

for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

시간 복잡도
O(ElogE) (E는 간선의 개수)

위상정렬

사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하기.

알고리즘
큐를 이용한다.
1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌때까지 다음의 과정을 반복한다.
가) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
나) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

여러가지 답 존재 가능
DAG(direct Acyclic Graph) 순환하지 않는 방향 그래프에서만 수행됨.

위상정렬 코드

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력
v, e = map(int, input().split())

# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)  #정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] #알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()