사인 법칙

삼각형 세 각의 크기에 대한 사인과 대변의 길이, 외접원의 반지름 사이의 관계를 정리해 놓은 것. 삼각형의 세 각에서 각의 사인값과 길이의 비가 모두 같다. 이를 이용해 각의 크기와 변의 길이를 구할 수 있다.

$\bigtriangleup ABC$의 외접원의 반지름을 $R$, 각의 대응변의 길이를 $a,b,c$라고 할 때

증명

예각

한 원에서 두 점을 지나는 호의 길이가 같으면 그 호에 해당하는 원주각의 크기도 같다. 호 $\overline{BC}$의 원주각이므로, $\angle A = \angle A’$가 된다. 또, 지름의 원주각은 $90 \degree$이므로 $\angle A’CB=90 \degree$이다.

※ 여기서 $a$는 $\angle A$의 대응변!

직각

$sinA = sin90 \degree = 1$이고, $\angle A = 90 \degree$이면 대변 $\overline{BC}$는 원의 지름이므로 $2R$이다.

둔각

점 $B$에서 외접원의 중심 $O$를 지나는 $\overline{BA’}$를 긋는다. $\square ABA’C$는 원에 내접한다. 원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각에 따르면 원에 내접하면 사각형의 한 쌍의 대각의 합은 $\pi$이다. $A+A’=\pi$이므로, $sinA = sin(\pi-A')$

정리

$\angle A$가 예각, 직각, 둔각일때 모두 $\frac{a}{sinA} = 2R$가 성립한다. 같은 방법으로 $\angle B, \angle C$일 때도 증명할 수 있다.

코사인법칙

한 변의 길이와 다른 두 변, 그 대각 사이의 관계를 나타내는 식.

제 1 코사인 법칙

$\bigtriangleup ABC$의 세 각을 $A, B, C$라고 하고, 그 대변을 $a, b, c$라고 할 때 다음의 성질이 성립한다.

두 각의 크기와 그 대변의 길이를 알 때 다른 한 변의 길이를 구하는 공식이다. 두 변의 길이와 두 각의 $cos$를 교차로 곱해주는 것이 특징이다.

증명

예각

$C$가 예각일 때, $A$에서 $\overline{BC}$로 수선을 내리고 수선의 발을 $H$라고 해보자.

$a= \overline{BH} + \overline{CH}$이다.

$cosC$는 $\frac{\overline{CH}}{b}$이므로 $\overline{CH} = bcosC$이고, $cosB$는 $\frac{\overline{BH}}{c}$이므로 $\overline{BH} = ccosB$이다.
결국, $a = \overline{BH} + \overline{CH} = bcosC + ccosB$라는 것을 알 수 있다.

직각

직각이면 따로 보조선을 그을 필요가 없다.

둔각

$A$에서 $\overline{BC}$의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 $H$라고 해보자. $a = \overline{BH} - \overline{CH}$이다.

정리

세 경우를 통해서 $C$의 크기와 상관 없이 $a=bcosC+ccosB$가 성립하는 것을 알 수 있었다. $A, B$의 각을 바꿔가며 같은 방법으로 증명하면 $b=ccosA+acosC, c=bcosA+acosB$가 성립하는 것을 확인할 수 있다.

제 2 코사인 법칙

증명

제 1 코사인 법칙의 세 개의 식에, 좌변에 있는 항목(a,b,c)를 양변에 곱해보자

순서대로 1, 2, 3 식이라고 해보자. 1-2-3을 하면,

2-3-1을 하면,

3-1-2를 하면,

제 2 코사인 법칙은

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA$ 이 공식만 보자. 각 항을 보면 $a, b, c$라는 세 변의 길이와 $A$라는 한 각의 크기로 되어 있다. 세 변과 한 각 사이의 관계를 나타내는 식이다. $b, c$라는 두 변의 길이와 그 끼인각인 $A$의 크기를 알면 끼인각의 대변의 길이를 구할 수 있다.

공부 자료

수학방
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