5. 적분

넓이

$1^2+2^2+...+n^2={n(n+1)(2n+1) \over 6}$

연속함수 f의 그래프 아래에 놓이는 영역S의 넓이 A는 근사 직사각형들의 넓이의 합의 극한이다.
$A=\lim_{n→ \infty}R_n=$$\lim_{n→ \infty}[f(x_1)Δx+f(x_2)Δx+...+f(x_n)Δx]$
$A=\lim_{n→ \infty}L_n=$$\lim_{n→ \infty}[f(x_0)Δx+f(x_1)Δx+...+f(x_{n-1})Δx]$

표본점: i번째 부분 구간$[x_{i-1},x_i]$에 있는 임의의 수 $x_i^*$에서 f의 값을 i번째 직사각형의 높이로 택할 수 있다. 이 때 $x_1^*$,$x_2^*$, ... ,$x_n^*$
$A=\lim_{n→ \infty}[f(x_1^*)Δx+f(x_2^*)Δx+...+f(x_n^*)Δx]$ = $\lim_{n→ \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i^*)Δx$

정적분

분할: [a, b]에서 정의되는 임의의 함수 f에서 분할점 $x_0,x_1,\ ...\ ,x_n$을 선정한다.
n개의 작은 부분 구간으로 나눈다.
$a=x_0<x_1<...<x_n$
$[x_0,x_1],[x_1,x_2]$들을 [a,b]의 분할 p라 한다. $Δx_i=x_i-x_{i-1}$

리만 합: $\sum ^n_{i=1}f(x^*_i)$ $f(x^*_i)$이 음수면 뺀다.

정적분: f가 [a, b]에서 정의되ㅡㄴ 함수이면 다음 극한이 존재할 때 a에서 b까지의 정적분은 $\int_a^bf(x)dx=\lim _{max Δx→ 0}$ = $\sum_{i=1}^nf(x_i^*)Δx$
이 극한이 존재할 때 f는 [a, b]에서 적분 가능하다고 한다.
f가[a,b]에서 연속이거나 f가 유한 개의 도약 불연속 점을 가지면 f는 [a, b]에서 적분 가능하다. $\int_a^bf(x)dx$ 이 존재.

정리: f가 [a, b]에서 적분 가능하면 다음이 성립한다.
$\int_a^bf(x)dx=\lim _{n→ \infty}$ $\sum_{i=1}^nf(x_i)Δx$
이 때 $Δx={b-a \over n}$ 이고 $x_i=a+iΔx$ 이다.

$\sum ^n _{i=1}i={n(n+1)\over2}$
$\sum ^n _{i=1}i^2={n(n+1)(2n+1) \over 6}$
$\sum ^n _{i=1}i^3=[{n(n+1) \over 2}]^2$
$\sum ^n _{i=1}c=nc$
$\sum ^n _{i=1}ca_i=c\sum ^n _{i=1}a_i$
$\sum ^n _{i=1}a_i \pm b_i=\sum ^n _{i=1}a_i \ \pm \ \sum ^n _{i=1}b_i$

중점 법칙($\bar x_i$)
$\int^b_af(x)dx \approx \sum^n_{i=1}f(\bar x_i)Δx=Δx[f(\bar x_1),f(\bar x_2),\ ... \ , f(\bar x_n)]$
$Δx={b-a \over n}$
$\bar x_i={1 \over 2}(x_{i-1}+x_i)=[x_{i-1}, \ x_i]$의 중점

정적분의 성질
$\int ^a_bf(x)dx=-\int^b_af(x)dx$

a=b 일 때
$\int^a_af(x)dx=0$

$\int^b_acdx=c(b-a)$

$\int^b_a[f(x) \pm g(x)]dx=\int^b_af(x)dx \pm\int^b_ag(x)dx$

$\int^b_acf(x)dx=c\int^b_af(x)dx$

$\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx=\int^b_af(x)dx$

적분의 비교 성질
$a \leq x \leq b$ 이고 $f(x) \geq 0$이면 $\int^b_af(x)dx \geq 0$

$a \leq x \leq b$ 이고 $f(x) \geq g(x)$이면 $\int^b_af(x)dx \geq \int^b_ag(x)dx$

$a \leq x \leq b$ 이고 $m \leq f(x) \leq M$이면 $m(b-a) \geq \int^b_af(x)dx \geq M(b-a)$

정적분 계산하기

정적분의 기본정리: f가 [a, b]에서 연속이면 $\int _a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$
F는 f의 역도함수
$\int _a^bf(x)dx=F(x)]^b_a$

부정적분
$\int f(x)dx=F(x)$ , $F'(x)=f(x)$

$\int _a^bf(x)dx=\int f(x)dx]^b_a$

$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$

$\int kdx=kx+C$

$\int \sin x dx=- \cos x +C$

$\int \sec^2 x dx=\tan x +C$

$\int \sec x \tan x dx=\sec x +C$

$\int [f(x) + g(x)] dx=\int f(x)+\int g(x) +C$

$\int x^ndx={x^{n+1} \over n+1}+C$

$\int \cos x dx=\sin x +C$

$\int \csc^2 x dx=- \cot x +C$

$\int \csc x \cot x dx=-\csc x +C$

순 변화 정리: 변화율의 적분은 순 변화이다.
$\int F'(x)dx=F(b)-F(a)$

미적분학의 기본 정리

$g(x)=\int^x_af(t)dt$ , $a \leq x \leq b$
f가 [a, b]에서 연속. g는 f의 역도함수

역과정으로서의 미분과 적분
f가 [a, b]에서 연속일 때
$g(x)=\int^x_af(t)dt$이면 $g'(x)=f(x)$
F를 f의 역도함수라 하면
$\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)$

치환 법

u=g(x)는 미분 가능하고
치역이 구간 I 라고 ㅎ ㅏ자
그리고 f가 I에서 연속이면 다음이 성립한다.
$\int^b_af(g(x))g'(x)dx=\int^{g(b)}_{g(a)}f(u)du$

대칭성
f가[-a, a]에서 연속이면 다음이 성립한다.
f가 우함수이면 $\int^a_{-a}f(x)dx=2\int_0^af(x)dx$
f가 기함수이면$\int^a_{-a}f(x)dx=0$