함수

함수

• 관계의 특수한 형태
• 첫번째 원소가 같지 않은 순서쌍들의 집합
• 두집합 X와 Y에서 함수 f는 집합 X에서 Y로의 관계의 부분집합으로서 집합 x에 있는 모든 원소 x가 집합 Y에 있는 원소와 하나씩만 대응하는 관계
  f:X→Y
• X를 함수 f의 정의역 이라 하고 Y를 f의 공변역(codomain) 이라 한다
• 함수 f를 사상(mapping) 이라고도 하며 f는 x에서 y로 사상한다'고 표현한다.
  f:X→Y를 함수라 할 때 f(x)=y라 표시하면, y를 함수 f에 의한 x의 상(image) 또는 함수값이라고 한다.

Dom(f)={x|(x,y)∈f,x∈X, y∈Y}
Ran(f)={y|(x,y)∈f,x∈X, y∈Y}
두 함수 f와 g가 같은 정의역과 공변역을 가지고, 정의역에 있는 모든 원소 x에 대해 f(x)=g(x)가 성립하면 f와 g는 서로 같다고 하고 f=g로 표기
함수는 X의 모든 원소 x가 집합 Y에 있는 원소 중 한 개와 관계가 있어야 한다.

함수 그래프(fuction graph): 함수 f: A→B에 대한 함수 그래프 G는 x∈A 이고 y=f(x)인 순서쌍 (x,y)의 집합을 나타낸다. G={(x,y)|x∈X, y∈Y, y=f(x)}
함수 f에 대한 그래프 G의 원소들을 좌표 평면상에 점으로 표시하는 것을 y=f(x)의 그래프의 기하학적 표현이라 한다.

함수의 개수

X의 원소 개수 m
Y의 원소 개수 n
X에서 Y로의 함수의 개수 : $n^m$
X에서 Y로의 일대일 함수의 개수 : $n(n-1)...(n-m+1)$
X에서 Y로의 일대일 대응 함수의 개수 : $n(n-1)...2*1$

여러 함수

단사 함수(injective function): 함수 f:A→B 에서 $a_i,a_j \in A에 대해 f(a_i)=f(a_j)=>a_i=a_j$
일대일 함수(one to one function)라고도 한다. 단사 함수에서 함수의 치역은 공변역의 부분집합이 된다.
f:A->B에서 Ran(f)⊆B

전사함수(surjective function): 함수f:A→B의 모든 원소 b에 대해 f(a)=b가 성립되는 a∈A가 적어도 하나 존재할 때의 함수. 반영 함수(onto function)라고도 한다.
Ran(f)=B다. 공변역과 치역이 같다. ∀b∈B, ∃a∈A, f(a)=b

전단사 함수(bijective function): 전사이면서 동시에 단사인 함수
일대일 대응 함수(one to one correspondence function)

합성함수(composition function): f:A→B와 f:B→C에 대해 집합 A에서 집합 C로의 함수 g*f:A→C를 의미한다
g*f={(a,c)|a∈A, b∈B, c∈C, f(a)=b, g(b)=c}=g(f(x))
항등함수(identity function): 집합 A에 대한 함수 f가 f:A→A, f(a)=a 인 함수, ∀a∈A, $I_A(a)=a$

역함수(inverse function): f:A→B가 전단사 함수일 때 $f^{-1}:B → A$로 표기한다.
∀a∈A,∀b∈B, f(a)=b=> $f^{-1}(b)=a$

특성함수(characteristic function): 전체집합 U의 부분집합 A의 특성함수 $f_A:U→\{0,1\}$
$f_A(x)=0, x \notin A$
$f_A(x)=1, x \in A$

올림함수(ceiling function): x∈R에서 x보다 크거나 같은 정수값 중 가장 작은 갓을 나타내며 [x]로 표기한다.

내림함수(floor function): x보다 작거나 같은 정수 값 중 가장 큰 값을 나타낸다. [x]로 표기한다.