행렬

행렬(matrix)

수 또는 문자를 배열의 형태로 나타낸 것
$A=[a_{ij}]$, i=행, j=열
$a_{ij}$를 ij-항(ij-entry), ij-성분(component) 라고 부른다.
행렬의 각 행은 가로의 n 순서쌍으로 볼 수 있고 행 벡터(row vector)라 한다.
각 열은 세로의 m 순서쌍으로 볼 수 있고 열 벡터(column vectro)라 한다.

정방행렬(square matrix)
행렬 $A=[a_{ij}], i=\{1,2,...,m\}, j=\{1,2,...,n\}$에 대해 m=n인 경우
행의 개수와 열의 개수가 같은 경우인 $A_{a\times a}$
n개의 행과 n개의 열을 가진 행렬은 n차 정방행렬(square matrix of order n)
주대각선(main diagonal)
가운데 대각선을 이렇게 부른다. $a_{11}, a_{22}, … , a_{nn}$

행렬의 합 차
A와 B모두 $m\times n$ 행렬일 때, 각 성분을 더하거나 뺀 것

행렬의 스칼라 곱
k가 실수이고 $A=[a_{ij}]$를 임의의 행렬이라고 할 때 KA는 ij-성분이 $Ka_{ij}$인 행렬로 정의 되므로 $KA=[Ka_{ij}]$, 각 항에 K를 곱한 것

행렬의 곱
$A=[a_{ij}]$가 $m\times n$ 행렬이고 $B=[b_{ij}]$가 $n\times p$의 행렬일 때 행렬의 곱은
$AB=C=[c_{ij}]$로서 $c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} , (i=\{1,2,...,m\}, j=\{1,2,...,p\})$로 정의된다.
A의 행을 B의 열에 곱한 후 더한다.

대각 행렬(diagonal matrix)
$n\times n$ 정방행렬에서 주 대각선을 제외한 모든 항들이 0인 행렬 D

대각 합(trace)
정방행렬 A의 주 대각선 위의 모든 성분들을 대각항이라고 하고 각 대각항의 합을 대각합이라 한다. tr(A) 또는 trace(A). 행렬의 대각합은 행과 열 번호가 같은 성분들의 합이다.

항등행렬(identity matrix), 단위 행렬
대각 행렬이면서 대각선의 항들이 모두 1인 $n\times n$행렬. 크기가 $n\times n$인 항등 행렬을 $I_n$으로 나타낸다. $AI_n=A=I_nA$

영행렬(zero matrix)
성분이 모두 0인 행렬, 모든 i, j에 대해 $a_{ij}=0$인 행렬

전치행렬(transpose matrix)
어떤 행렬의 전치 행렬은 행과 열을 서로 바꾼 행렬
$A=[a_{ij}], (m\times n)\\ => \\ b_{ji}=a_{ij}\\ B=[b_{ji}], (n\times m)$

대칭행렬(symmetric matrix)
어떤 정방행렬 $n\times n$ 행렬이 자신의 전치행렬과 똑같을 때 즉 $A=A^T$를 만족하는 행렬. $a_{ji} =a_{ij}$

교대행렬
$A=-A^T$를 만족하는 $n\times n$ 행렬 $a_{ij}= -a_{ij}$

삼각행렬(triangular matrix)
주대각선을 기준으로 아래의 모든 항이 0인 $n\times n$ 행렬인지, 위의 항이0인 $n\times n$ 행렬인지에 따라 upper triangular matrix , lower triangular matrix 로 나뉜다.

행렬의 기본 연산
어떤 행렬 A의 다음 세가지 연산을 기본 행 연산(elementary row operation)이라 한다.
1. 어떤 2개의 행을 서로 바꾼다.
2. 어떤 행에 0이 아닌 상수를 곱한다.
3. 어떤 행에 상수를 곱한 값을 다른 행에 더한다.

pivot, 선행자(leading one)
행렬의 각 행에서 0이 아닌 가장 처음 나타나는 수를 사다리꼴 행렬에서의 피벗으로 삼을 수 있다.

행 사다리꼴(row echelon form) REF, $m\times n$행렬 A가 기본 행 연산을 거친 후 다음 세가지 조건을 만족하면 행 사다리 꼴이라고 한다.
1. 0으로만 이뤄진 행들은 만약 있는 경우 행렬의 아래쪽에 나타낸다.
2. 모두가 0이 아닌 행의 가장 왼쪽에 처음 나타나는 0이 아닌 수를 피벗으로 삼는다.
3. 모두가 0이 아닌 연이어 두 행이 있으면 아래쪽 행의 피벗은 위 행의 피벗보다 오른쪽에 있다.

기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form)
$m\times n$ 행렬 A가 기본 행 연산 들을 거친 후 행 사다리 꼴의 3가지 조건에 더해 다음 조건을 만족하면 기약 행 사다리꼴이라 한다. RREF
4. 한 행의 피벗을 포함하는 열에는 피벗 이외의 항은 모두 0이다.

기약 행 사다리꼴을 구하기 위한 기본 행 연산 방법은 두단계이다.

• 전향단계(forward phase): 피벗의 아래부분이 0이 되게 한다.
• 후향단계(backward phase): 피벗의 윗부분까지 0이 되게 한다.

가우스 소거법(Gauss elimination)
전향 단계 까지의 연산 과정을 실행하여 행 사다리꼴을 구하는 소거법

가우스-조단 소거법(Gauss-Jordan elimination)
후향 단계까지 실행하여 기약 행 사다리꼴을 구하는 소거법

계수(rank)
주어진 행렬을 행 사다리꼴로 만들었을 때 행 전체가 0이 아닌 행의 개수

행렬식(determinant)
정방행렬 A에 하나의 스칼라 값을 대응시키는 함수. Det(A). |A|
n차 정방행렬의 행렬식을 n차 행렬식이라고도 부른다.
A를 $n\times n$행렬이라 할 때 A에 대해 A의 행렬식이라는 수가 대응된다.
A=[(행렬)] , Det(A)= |(행렬)|
$1\times 1$행렬의 행렬식: $a_{11}$
$2\times 2$행렬의 행렬식: $a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}$
$3\times 3$행렬의 행렬식: $a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12,23,31}+a_{13,21,32} - a_{11,23,32}-a_{12,21,33}-a_{13,22,31}$

사루스의 공식(Sarrus’s formula)
화살표를 이용한 방법 $3\times 3$ 이하인 경우에 계산이 가능하다

정칙 행렬(non-singular matrix)
$n\times n$ 정방행렬 A의 행렬식 |A|의 값이 0이 아닐 때

특이 행렬(singular matrix)
|A|=0, $n\times n$의 정방행렬 A의 행렬식 |A|의 값이 0일 때

$n\times n$ 행렬 A, B가 AB=BA=I인 정칙 행렬인 경우를 가역적(nonsingular, invertible) 이라고 한다.

행렬식의 성질

1. $n\times n$ 행렬 A에 임의의 두 행(또는 열)이 같으면 행렬식의 값은 0이다.
2. $n\times n$ 행렬 A에 임의의 두 행(또는 열)을 바꿔서 만든 행렬을 B라고 하면
   $Det(B)=-Det(A)$
3. 행렬 A의 행렬식의 값은 그 전치행렬의 행렬식의 값과 같다.
   $Det(A)=Det(A^T)$
4. A와 B가 $n\times n$ 행렬이면
   $Det(AB)=Det(A)*Det(B)$
5. 행렬식의 어떤 행(열)의 각 원소에 같은 수 k를 곱하여 얻은 행렬식은 처음 행렬식에 k를 곱한 것과 같다.
6. $n\times n$행렬 A의 한 행(열)의 모든 원소가 0이면
   $Det(A)=0$
7. 두 개의 행 (또는 열)을 교환한 행렬식은 원래 행렬식에서 부호만 바뀐다.
8. 한 개의 행(열)에 k배한 것을 다른 행(열)에 더하여 만든 행렬식은 원래의 행렬식과 같다.

역행렬(inverse matrix)
행렬 A와 B 모두 $n\times n$ 행렬일 때, AB=BA=I 인 행렬 B가 존재할 경우 A를 가역적이라 한다. B를 A의 역행렬이라 한다. $A^{-1}$
항등행렬의 역행렬은 항등행렬
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n$
$(kA)^{-1}={1\over k}A^{-1}$
det(A) = 0 이면 역행렬이 없다.
첨가 행렬(augmented matrix)
행렬 A의 오른쪽에 추가로 첨가하여 만든 행렬

가우스-조단 역행렬 구하는 알고리즘

1. 원래의 행렬 A행령에다 항등행렬 I를 옆에 첨가해서 첨가행렬 [A|I]를 만든다.
2. 행렬 A 부분이 항등행렬로 바뀔 때 까지 행 연산을 계속한다.
3. A가 가역적 행렬인지를 결정한다.

• A를 항등행렬로 변환할 수 있으면 $I$위치에 있는 행렬이 $A^{-1}$이다. 행 연산 중 한 행렬이 모두 0 이 되면 A는 비가역적 행렬이다.

선형 방정식의 해법(연립 방정식 1차)
Ax=b가 n개의 변수에 대한 n개의 방정식으로 이루어진 선형시스템이고, 행렬 A가 가역적이면 선형 시스템은 유일한 해, x=A^{-1}b를 가진다.

소행렬(minor matrix)
n차 정방행렬에서 i번째 행과 j번째 열을 제거해서 얻은 $n-1\times n-1$ 행렬. 소행렬의 행렬식은 소행렬식
$M_{11}$=1행과 1열을 제외한 원소들로 구성

여인수(cofactor), 여인수행렬(cofactor matrix)
n차 정사각 행렬 #A=[a_{ij}]# 에서 원소 $a_{ij}$에 관련된 계수와 그 계수들의 행렬.
(여인수)$A_{ij}=(-1)^{i+j} det(M_{ij})$ <-i행 j행을 제외한 소행렬식
$+ - + -$
$+ - + -$
$+ - + -$
$n\times n$ 행렬 A의 어떤 행(열)을 선택하는 가와 상관 없이, 선택된 행 또는 열에 있는 각 원소와 대응하는 여인수의 곱을 모두 더하여 얻은 수는 항상 같다.
C를 여인수라고 할 때
$det(A)=a_{i1}\times Ci1+ a_{i2}\times Ci2+…+ a_{in}\times Cin\\ = a_{1j}\times C1j+ a_{2j}\times C2j+…+ a_{nj}\times Cnj$

행렬식으로 역행렬 구하기: $A^{-1}= {1\over det(A)}[A_{ij}]^T$
수반행렬(adjoint matrix): 여인수 행렬에 대한 전치행렬