벡터에는 합 외에도 자연스러운 연산이 하나 더 있다. 벡터는 크기를 확대하거나 축소할 수 있는데, 이를 벡터에 실수를 곱하는 스칼라 곱이라는 연산으로 나타낸다.
평면에서 벡터의 합과 스칼라 곱을 대수적으로 설명하면 다음 8가지 설질을 확인할 수 있다.
성질 1. 모든 벡터 x, y에 대하여 x + y = y + x 이다.
성질 2. 모든 벡터 x, y, z에 대하여 (x + y) + z = x + (y + z)이다.
성질 3. 모든 벡터 x에 대하여 x+0 = x를 만족하는 벡터 0이 존재한다.
성질 4. 각 벡터 x마다 x + y =0 을 만족하는 벡터 y가 존재한다.
성질 5. 모든 벡터 x에 대하여 1x = x이다.
성질 6. 모든 실수 a, b와 모든 벡터 x에 대하여 (ab)x = a(bx)이다.
성질 7. 모든 실수a와 모든 벡터 x, y에 대하여 a(x + y) = ax + ayd이다.
성질 8. 모든 실수 a,b와 모든 벡터 x에 대하여 (a + b)x = ax + bx
난 일이 조와