[알고리즘] 위상정렬(Topology Sort), 가중치를 포함한 위상정렬

Woonil·2025년 2월 27일

알고리즘

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위상 정렬(Topology Sort)은 정렬 알고리즘의 일종으로, 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 정렬 방법이다.

⇒ 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있다.

특징
- 적용조건 : 사이클이 없는 유향 그래프 (DAG: Directed Acyclic Graph)
- 모든 정점을 일렬로 나열 (정점 x에서 정점 y로 가는 간선이 있으면 x는 반드시 y보다 앞에 위치함)
- 일반적으로 임의의 유향 그래프에 대해 복수의 위상 순서가 존재할 수 있다.
- 큐 자료구조를 활용한다.
- 진입차수: 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
- 시간복잡도: O(V + E)

🤔개념

과정

진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

구현

Pseudo code

topologySort() {
	for each v ∈ V
		visited[v] <- NO;
	for each v ∈ V // 정점 순서와 무관
		if (visited[v] = NO) then DFS-TS(v);
}

DFS-TS(v) {
	visited[v] <- YES;
	for each x ∈ L(v) // L(v): v의 인접 리스트
		if (visited[x] = NO) then DFS-TS(x); // 연결리스트 R의 맨 앞에 정점 v 삽입
} // 알고리즘 수행 후, 연결리스트 R에는 정점들이 위상정렬된 순서로 매달려 있음

Python 구현

입력값 받기 (노드수, 간선수)

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())

진입차수 리스트, 간선 리스트 초기화

# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선정보를 담기 위한 연결리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

입력값 받기 (간선정보)

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
  # 진입차수를 1 증가
  indegree[b] += 1

정렬 수행

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
  result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
  q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

  **# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입**
  for i in range(1, v + 1):
    if indegree[i] == 0:
      q.append(i)

  # 큐가 빌 때까지 반복
  while q:
    # 큐에서 원소 꺼내기
    now = q.popleft()
    result.append(now)
    # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
    for i in graph[now]:
      indegree[i] -= 1
      # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
      if indegree[i] == 0:
        q.append(i)

노드에 가중치가 포함된 그래프의 위상정렬

프론트엔드 개발자인 나는 2명의 백엔드 팀원 각각이 api 구현을 완료해야지만 구현을 시작할 수 있다. 미리 일을 시작하기는 귀찮은 나는 백엔드 팀원들의 작업이 모두 완료되고 일을 시작하려고 한다. 팀원 각각이 구현에 1일, 3일이 걸린다고 한다. 그러면 나는 3일이 지나고서야 작업을 시작하면 되겠다. 마지막 백엔드 팀원의 작업이 끝날 때서야 나는 줄(내 뒷사람에게 작업을 넘겨주는 줄)에 가서 기다리면 되겠다.

가중치가 포함된 위상정렬을 쉽게 이해하기 위해 나만의 방법으로 이야기를 구성해 보았다. 여기서 백엔드 팀원이 2명이니, 진입차수가 0인 정점은 2개이고 방문할 정점(나)의 진입차수는 2가 된다. 또한 백엔드 팀원의 각각의 가중치는 1, 3 이다. 마지막 백엔드 팀원의 작업이 끝나는 시점이 곧 방문할 정점(나)의 진입차수가 0이 되는 순간이다. 그리고 내가 줄에 가는 것이 진입차수가 0이 된 정점이 큐에 추가 되는 시점이다.

😎실습

가중치가 포함된 위상정렬

백준 2056번 작업: https://www.acmicpc.net/problem/2056

from collections import deque

def topology_sort():
    d=time.copy()
    q=deque()

    for i in range(1,n+1):
        if ind[i]==0:
            q.append(i)

    while q:
        now=q.popleft()
        for v in graph[now]:
            d[v]=max(d[v],d[now]+time[v])
            ind[v]-=1
            if ind[v]==0:
                q.append(v)

    return max(d)