이 글은 Tranform Matix의 전부를 설명하지는 않습니다. Transform Matrix의 의미를 자주 까먹어 정리하기 위한 용도의 글이며, 기초적인 내용을 서술하고 있지 않습니다. 다양한 분야에서 Transform Matrix를 사용하지만, 이 글에서는 SLAM에서 Pose로 Transform Matrix를 사용할 때의 내용을 담고 있습니다.

Translation

Transform Matrix($T=[R|t]$)의 $t$에 해당하는 Translation의 의미는 local coordinate Origin $O_1$의 위치다.
즉, $O_1$이 Global Coordinate Origin $O_0$으로 부터 ($x, ~y, ~z$)만큼 떨어져 있다면 $T$의 마지막 열은 다음과 같다.

여기서, $x, y, z$의 축은 Global Coordinate Axis이다.

Rotation

이 글에서의 회전은 가장 회전을 직관적으로 이해할 수 있는 Euler Angle로 표현합니다. 회전을 표현할 수 있는 다른 방식인 Querternion과 Axis Angle도 있지만 결국 Transform Matrix의 Rotation term으로 가져왔을 때의 local coordinate의 회전을 표현한다는 의미는 같습니다.

Euler Angle Representation

오일러 앵글은 Roll($\alpha$), Pitch($\beta$), Yaw($\gamma$)를 가지고 회전을 표현하는 방법이다.
가장 보편적으로 Z축 → Y축 → X축 순으로 회전하며, 각 회전축은 Global Axis가 아닌 Local Axis를 기준으로 회전한다.

def euler_to_rotation_matrix(roll, pitch, yaw):
  roll, pitch, yaw = np.deg2rad(roll), np.deg2rad(pitch), np.deg2rad(yaw)
  R_z = np.array([[np.cos(yaw), -np.sin(yaw), 0],
                [np.sin(yaw), np.cos(yaw), 0],
                [0, 0, 1]])
  R_y = np.array([[np.cos(pitch), 0, np.sin(pitch)],
                  [0, 1, 0],
                  [-np.sin(pitch), 0, np.cos(pitch)]])
  R_x = np.array([[1, 0, 0],
                  [0, np.cos(roll), -np.sin(roll)],
                  [0, np.sin(roll), np.cos(roll)]])
  R1_0 = R_z @ R_y @ R_x
  return R1_0

위 함수로 생성된 Matrix는 회전한 좌표계에서 바라본 점의 좌표($P_1$)를 변환되기 전 좌표계에서 바라본 점($P_0$)으로 변환하게 된다

즉, 회전 매트릭스는 2가지 의미를 내포하고 있다.
1. 현재 Local Coordinate이 Global Coordinate기준 어떤 Rotation Pose를 가지고 있는지
2. Local Coordinate의 점을 Global Coordinate으로 변환하는 매트릭스