울프럼 알파에서 집합 연산 및 술어 논리 연산 해 보기

울프럼 알파 링크

울프럼 알파는 정말로 막강한 계산 도구 입니다. 특히 미적분 문제들에 대해서도 그것이 가능 하다면 해석적 방법의 step-by-step 솔루션을 제공 해 주어 이공계 생들의 구원자 라고 불리 기도 합니다. 물론 해석적으로 풀리지 않는 경우에도 수치적인 결과로 답을 알려 줍니다.

그런데 사실 흔히 우리에게 친숙한 미적분, 방정식, 행렬 연산 뿐만이 아니라 집합 연산 및 술어 논리 연산 또한 가능합니다.

울프럼 알파에서 어떻게 그것이 가능 한지 간단한 샘플 예제들을 통해서 확인 해 보겠습니다.

각각의 예제를 보시면 아시겠지만 울프럼 알파는 계산에 대해서 자연어(영어) 명령어를 인식합니다. 그러므로 여러 분들이 전공서적 등에서 본 말이 되는 패턴의 집합 연산 및 술어 논리 연산을 자연어로 주면 자연스럽게 그것을 인식하고 계산 결과를 반환합니다.

자 이제 예제를 하나씩 살펴 보겠습니다.

1. $(A \cup B) \cap C$ 에 대해서 연산 해 보겠습니다.

• 위의 사진을 보면 (A union B) intersect C 라고 자연어로 준 집합 연산식을 잘 인식하여 처리 된 결과를 볼 수 있습니다.

• Input interpretation 부분을 보면 주어진 자연어를 formal 한 수학의 symbolic 형태로 변환해서 보여 줍니다. 그리고 집합 연산의 결과를 벤 다이어그램 형태로 보여 준 또한 확인 할 수 있습니다.

2. $S^{\mathsf{c}} \cap (A \cup B)$ 에 대해서 연산 해 보겠습니다.

• 위의 사진을 보면 2번 예제 또한 1번 예제와 같이 잘 연산 되었음을 확인 할 수 있습니다.

3. 이번 에는 $(A \cup B)^{\mathsf{c}} = A^{\mathsf{c}} \cap B^{\mathsf{c}}$ 유명한 드 모르간의 법칙에 대해서 연산 해 보겠습니다.

• Input interpretation 보면 자연어를 정확하게 인식해서 집합 연산 기호로 표현 되있는 것을 확인 할 수 있습니다.
• Result 항목을 보면 왼쪽과 오른쪽의 집합간의 관계가 True로 계산 되었음을 확인 할 수 있습니다.
• 벤 다이어그램으로도 드모르간 법칙의 연산의 결과가 정확하게 표현 되어 있습니다.

4. 자 이번에는 두 개의 집합간의 비교를 {a,b,c} = {a,b,c,a} 같이 원소나열법 형태로 해 보겠습니다.

• Result 항목을 보면 두 개의 집합 $\{a,b,c\} = \{a,b,c,a\}$ 관계가 True로 정확하게 반환 되었음을 알 수 있습니다.(수학에서의 일반적인 집합의 정의에 의해 중복값은 하나로 처리 됩니다.)

5. 이번에는 $X \cap Y \subseteq Y$ 처럼 집합의 포함관계에 대한 연산을 해 보겠습니다.

• Input interpretation 항목을 보면 주어진 자연어를 정확하게 인식해 $X \cap Y \subseteq Y$로 표현 되었음을 볼 수 있습니다.
• Result 항목을 보면 주어진 집합의 포함관계에 대한 연산의 결과가 True로 정확하게 계산 되었음을 알 수 있습니다.
• 벤 다이어그램을 통해서도 집합의 연산의 포함관계 역시 확인 할 수 있습니다.

6. 이번에는 조금 더 복잡해진 집합의 포함관계 $X \cap (Y \cup (Z \cup W)) \subseteq Y \cup X$ 에 대해서 연산 해 보겠습니다.

• Input interpretation 항목을 보면 주어진 자연어를 정확하게 인식해 $X \cap (Y \cup (Z \cup W)) \subseteq Y \cup X$로 표현 되었음을 볼 수 있습니다.
• Result 항목을 보면 집합의 포함 관계는 정확하게 True로 계산 되었음을 알 수 있습니다.
• 특히 집합 4개에 대한 벤 다이어그램도 보기 좋게 잘 그려져 있어서 눈으로 결과를 시각화 하기에도 좋습니다.

7. 이번에는 $(A \wedge B) \vee C$ 에 대한 진리표에 대한 연산을 수행 보도록 하겠습니다.

• 결과가 인상적인데요. Truth table 항목을 보면 힘들게 진리표를 손으로 그리셨던 분들이라면 아마 탄식이 나오실 것 같습니다. ^^

8. 마지막으로 $(P \implies Q) \wedge (Q \implies R) \implies (P \implies R)$ 즉, 삼단논법(추이법칙)에 대한 연산을 해 보겠습니다.

주: 이 항목은 저의 삼단논법 증명 포스팅과 함께 보시면 더욱 좋습니다.

삼단논법 증명 링크

• 결과가 이건 7번 보다도 더 인상적인데요. 일단 Result 부분에서 $(P \implies Q) \wedge (Q \implies R) \implies (P \implies R)$ 의 결과가 tautology 라고 명확하게 진리값을 반환 했습니다. 또한 연산의 결과를 여러가지 다른 형태 Truth Table, Logic Circuit, 벤 다이어그램 등으로 다양하게 보여 줌을 확인 할 수 있습니다.

울프럼 알파의 연산 기능은 생각 보다 훨씬 다양하고 강력합니다. 이 게시물이 집합론, 논리학, 이산수학 등을 공부 하시는 분들께 도움이 되었으면 좋겠습니다. 앞으로도 더 울프럼 알파의 연산 기능을 제대로 활용 할 수 있는 도움을 줄 수 있는 게시물을 시리즈로 연재 해 보도록 하겠습니다.