이산형 확률 변수와 연속형 확률 변수의 정의와 차이
1. 이산형 확률 변수 (Discrete Random Variable)
정의
이산형 확률 변수는 특정 값들이 분리되어 있는 경우를 말하며, 셀 수 있는 유한 개 또는 무한 개의 값을 가질 수 있습니다.
- 예를 들어, 주사위를 굴려 나오는 값 ( X )는 1, 2, 3, 4, 5, 6과 같은 개별적인 값으로 구성되므로 이산형 확률 변수입니다.
특징
- 값이 정확히 구분됨 (분리된 값만 가능).
- ( P(X = x) )로 특정 값의 확률을 직접 계산.
- 확률 질량 함수(PMF)로 표현.
예시
- 고객 수: 하루 동안 콜센터에 걸려온 전화의 수 ( X )는 0, 1, 2, ... 등의 값만 가질 수 있습니다.
- 주사위: 주사위를 한 번 던졌을 때의 결과 ( X )는 ( {1, 2, 3, 4, 5, 6} ).
2. 연속형 확률 변수 (Continuous Random Variable)
정의
연속형 확률 변수는 특정 범위 내에서 무한히 많은 값을 가질 수 있으며, 값이 연속적입니다.
- 예를 들어, 사람의 키 ( X )는 160.1cm, 160.12cm, 160.123cm와 같이 정밀도가 계속 증가할 수 있습니다.
특징
- 특정 값에서의 확률은 항상 0이며, 구간의 확률로 계산.
- 확률 밀도 함수(PDF)로 표현.
- ( P(a \leq X \leq b) ) = PDF의 적분 값으로 계산.
예시
- 키: 성인의 키 ( X )는 150cm ~ 200cm 사이의 모든 실수 값.
- 온도: 하루 최고 기온 ( X )는 ( -10.5^\circ C ), ( 20.75^\circ C ) 등 연속적 실수 값.
3. 이산형 vs 연속형 비교표
| 구분 | 이산형 확률 변수 | 연속형 확률 변수 |
|---|---|---|
| 값의 특징 | 분리된 값 (정수형, 셀 수 있음) | 연속된 값 (무한히 많은 실수 값 가능) |
| 확률 계산 방법 | 특정 값의 확률 ( P(X = x) ) 직접 계산 | 구간 확률 ( P(a \leq X \leq b) ) = 적분값으로 계산 |
| 표현 방법 | 확률 질량 함수(PMF) | 확률 밀도 함수(PDF) |
| 그래프 형태 | 막대 그래프 | 연속 곡선 |
| 예시 | 주사위 결과, 고객 수, 판매된 상품 개수 | 키, 체중, 온도, 시간 |
4. 현업 활용 예시
이산형 확률 변수
- 주문 수량 분석
하루 동안 온라인 쇼핑몰에서 발생한 주문 수 ( X )는 이산형 확률 변수입니다.- 데이터: ( {10, 20, 15, 18, 22, ...} )
- 활용: 특정 주문 수량 이상 발생할 확률 계산.
연속형 확률 변수
- 제조업 품질 관리
부품의 크기 ( X )는 연속형 확률 변수입니다.- 데이터: ( {10.01, 10.15, 9.98, 10.03, ...} )
- 활용: 특정 크기 범위에 들어올 확률 계산 (( P(9.9 \leq X \leq 10.1) )).
PMF, PDF, CDF의 개념과 차이점
PMF, PDF, CDF 비교표
| 구분 | PMF (Probability Mass Function) | PDF (Probability Density Function) | CDF (Cumulative Distribution Function) |
|---|---|---|---|
| 정의 | 이산형 확률 변수에서 특정 값 ( X = x )일 확률 | 연속형 확률 변수에서 특정 값 근처의 확률 밀도 ( f(x) ) | 확률 변수 ( X )가 특정 값 이하 ( P(X \leq x) )일 확률의 누적 값 |
| 적용 대상 | 이산 확률 분포 (예: 베르누이, 포아송, 기하 분포) | 연속 확률 분포 (예: 정규, 균등, 지수 분포) | 이산/연속 확률 분포 모두 적용 가능 |
| 범위 | ( P(X = x) ), 0 이상 1 이하의 값 | 특정 값의 ( f(x) )는 0 이상, 적분 값은 1 | 0에서 1 사이 |
| 확률 계산 방법 | 특정 값의 확률 자체를 사용 | 구간 내 확률은 PDF를 적분 ( P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx ) | 구간 확률은 ( F(b) - F(a) )로 계산 가능 |
| 특징 | 확률 질량 함수: 특정 값의 확률을 직접 표현 | 확률 밀도 함수: 점에서의 값은 의미 없고 구간으로 해석 | 단조 증가 함수로 누적된 확률을 제공 |
| 시각화 | 특정 값마다 막대 그래프로 표현 가능 | 연속적인 곡선 그래프로 표현 가능 | 누적된 곡선으로 시각화 가능 |
| 예시 (현업) | 하루에 주문이 5건일 확률 계산 (( P(X=5) )) | 키가 170cm 근처일 확률 밀도 (( f(x=170) )) | 하루 주문이 5건 이하일 누적 확률 (( P(X \leq 5) )) |
PMF, PDF, CDF의 현업 활용 사례
1. 확률 질량 함수: PMF (이산 분포에서 특정 값의 확률)
- 현업 사례: 콜센터에서 특정 시간대에 고객이 3명 전화를 걸 확률
- 사용 분포: 포아송 분포 ( P(X = 3) = \text{poisson.pmf}(3, \lambda=5) )
- 결과 해석: 결과값이 0.14라면, 14% 확률로 특정 시간대에 3명이 전화를 걸 가능성이 있음.
- 의사결정: 이를 기반으로 시간대별 상담원 수를 조정.
2. 확률 밀도 함수: PDF (연속 분포에서 특정 값 근처 확률 밀도)
- 현업 사례: 제조업에서 부품 크기가 평균 10cm, 표준편차 0.2cm인 제품이 특정 크기 주변일 확률 분석
- 사용 분포: 정규 분포
- 특정 구간 ( P(9.8 \leq X \leq 10.2) = \int_{9.8}^{10.2} f(x) dx ) 계산
- 결과 해석: 제품 크기가 해당 구간 내에 들어올 확률은 약 68%.
- 의사결정: 제품 크기 기준을 9.8~10.2cm로 설정.
3. 누적 분포 함수: CDF (누적된 확률로 구간 계산)
- 현업 사례: 물류센터에서 배송 시간이 평균 2일, 표준편차 0.5일인 경우, 3일 이하로 배송될 확률 계산
- 사용 분포: 정규 분포 ( P(X \leq 3) = \text{norm.cdf}\left(\frac{3-2}{0.5}\right) )
- 결과 해석: 3일 이하로 배송될 확률이 약 97.7%.
- 의사결정: 배송 목표를 3일 이내로 설정 가능.
PMF, PDF, CDF 간의 관계
- PMF: 이산형에서 특정 값의 확률 (막대 그래프)
- PDF: 연속형에서 특정 구간 확률의 밀도 (곡선 그래프)
- CDF: 이산/연속형 모두 특정 값 이하 확률 누적 (누적 곡선)
그래프 비교 예시
| 분포 | PMF (막대) | PDF (곡선) | CDF (누적 곡선) |
|---|---|---|---|
| 포아송 분포 | 각 주문량별 확률 | (해당 없음: 연속 분포가 아니므로 PDF가 정의되지 않음) | 하루에 특정 주문량 이하로 처리될 확률의 누적 곡선 |
| 정규 분포 | (해당 없음: 이산 분포가 아니므로 PMF가 정의되지 않음) | 특정 키 근처의 밀도 곡선 | 특정 키 이하일 확률의 누적 곡선 |
이처럼 세 가지 개념을 구분하여 사용하면 데이터를 더 깊이 이해하고, 의사결정을 위한 유용한 정보를 도출할 수 있습니다.
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