1. 신장 트리 (Spanning Tree)

그래프 내 모든 정점이 사이클 없이 연결된 부분 그래프

n개의 정점을 가지는 그래프의 최소 간선 수는 (n-1)이고, 정확히 (n-1)개의 간선으로 연결되어 있으면 신장 트리가 됩니다. DFS나 BFS 탐색을 이용하여 찾을 수 있으며, 하나의 그래프에는 많은 신장 트리가 존재할 수 있습니다.

2. 최소 신장 트리 (MST)

신장 트리 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 것

MST는 간선의 가중치를 고려하여 최소 비용의 신장 트리를 선택하는 것을 말합니다. 따라서 신장 트리와 마찬가지로 사이클이 포함되어서는 안되며, (n-1)개의 간선을 가집니다.

MST을 구현하는 알고리즘은 아래와 같습니다.

1. Kruskal MST
   그래프의 간선을 하나씩 늘리며 MST를 만드는데, 가중치가 최소인 간선부터 추가합니다.

1) 간선은 가중치를 기준으로 오름차순 정렬합니다.
2) 가중치가 낮은 순서대로 사이클이 생기지 않는 간선만 추가합니다. 이 과정에서 유니온 파인드 알고리즘을 사용합니다.

유니온 파인드 알고리즘을 사용하면 크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도는 간선들을 정렬하는 시간에 좌우됩니다. 따라서 그래프가 적은 간선을 가지는 경우에는 크루스칼 알고리즘이 적합하고, 간선이 많다면 프림 알고리즘이 적합합니다.

2. Prim MST
   시작 정점에서부터 출발해 단계적으로 신장 트리의 집합을 확장해나가는 방법입니다.!

1) 시작 정점에서 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택합니다.
2) 이를 트리가 (n-1)개의 간선을 가질 때까지 반복합니다.

선택 과정을 정점의 수만큼 반복하므로, 프림 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n^2)입니다.

사진 출처: Spanning Tree | Minimum Spanning Tree, Difference Between Prim's and Kruskal's algorithm