Day23. 기초 수학 (4)

등비 수열

• 비가 같은 수열!
  연속된 두 항의 비가 일정한 수열
  2 6 18 54 162 486 1458 4374
  3 3 3 3 3 3 3 공비(r)
  => 두 항의 비가 3인 등비 수열

등비 수열 규칙성을 이용해서 일반항을 구할 수 있다.


2 6 18 54 162 486 1458 4374


an / a1 = 3^(n-1) => an = a1 * r^(n-1)

• 등비 중항
  
  
  2 6 18 54 162 486 1458
  
  
  an-1 * an+1 = an^2

• 등비 수열의 합
  
  
  규칙성을 이용해서 모든 항들의 총합을 구할 수 있다.
  
  
  sn = (a1 r^0) + (a1 r^0) + (a1 r^0) + ... + (a1 r^(n-2)) + (a1 r^(n-1)) # r의 0승부터 시작했으므로 끝항은 n-1
  r sn = (a1 r^1) + (a1 r^1) + (a1 r^1) + ... + (a1 r^(n-1))) + (a1 + r^(n)) # 위의 식에 r을 전부 곱해준다
  
  
  => 위에서 아래를 빼주자!
  
  
  => (1-r)sn = (a r^0) - (a1 r^(n)) => sn = (a1 r^0) - (a1 r^n) / (1 - r)
  sn => a1 * (1 - (r^n)) / (1 - r)

• 실습1
  다음 수열의 일반항을 구해보자.
  
  
  2 4 8 16 32 64
  an = a1 r^(n-1)
  an = 2 2^(n-1)
  
  
  5 15 45 135 405 1215
  an = a1 r^(n-1)
  an = 5 3^(n-1)

• 실습2
  다음 수열에서 a2과 a6의 등비중항을 구해보자.
  
  
  2 4 8 ? 32 64
  (an-1 an+1) = an^2
  (4 64) = an^2
  16 = an
  
  
  5 15 45 ? 405 1215
  (an-1 an+1) = an^2
  (45 405 = an^2)
  135 = an

• 실습3
  다음 수열의 합을 구해보자.
  
  
  2 4 8 16 32 64
  sn = a1 (1 - r^n) / (1 - r)
  2 (1 - (2^6)) / 1 - 2
  126
  
  
  5 15 45 135 405 1215
  sn = a1 (1 - r^n) / (1 - r)
  5 (1 - (3^6)) / (1 - 3)
  1820

등비 수열(파이썬) (01)

• 다음 수열을 보고 n번째 항의 값을 출력하는 프로그램을 만들어보자.
  an = {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...}

inputN1 = int(input('a1 입력 : '))
inputR = int(input('공비 입력 : '))
inputN = int(input('n 입력 : '))

valueN = 0
n = 1

while n <= inputN:

    if n == 1:  # 첫번째항
        valueN = inputN1    # 첫번째항을 그대로 넣어준다
        print('{}번째 항의 값 : {}'.format(n, valueN))
        n += 1
        continue

    valueN *= inputR
    print('{}번째 항의 값 : {}'.format(n, valueN))
    n += 1

print('{}번째 항의 값 : {}'.format(inputN, valueN))

[공식을 사용한 코딩]
an = a1 * r^(n-1)

inputN1 = int(input('a1 입력 : '))
inputR = int(input('공비 입력 : '))
inputN = int(input('n 입력 : '))

valueN = 0

# an = a1 * r^(n-1)
valueN = inputN1 * (inputR ** (inputN -1))
print('{}번째 항의 값 : {}'.format(inputN, valueN))

등비 수열(파이썬) (02)

• 다음 수열을 보고 n번째 항까지의 합을 출력하는 프로그램을 만들어보자.
  an = {5, 15, 45, 135, 405, 1215, 3645, ... }

inputN1 = int(input('a1 입력 : '))
inputR = int(input('공비 입력 : '))
inputN = int(input('n 입력 : '))

valueN = 0
sumN = 0
n = 1

while n <= inputN:

    if n == 1:  # 첫번째항
        valueN = inputN1    # 첫번째항을 그대로 넣어준다
        sumN = valueN
        print('{}번째 항까지의 합 : {}'.format(n, sumN))
        n += 1
        continue

    valueN *= inputR
    sumN += valueN
    print('{}번째 항까지의 합 : {}'.format(n, sumN))
    n += 1

print('{}번째 항까지의 합 : {}'.format(inputN, sumN))

[공식을 사용한 코딩]
등비 수열(합) 공식 : sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)

inputN1 = int(input('a1 입력 : '))
inputR = int(input('공비 입력 : '))
inputN = int(input('n 입력 : '))

valueN = 0
sumN = 0

# 등비 수열(합) 공식 : sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)
sumN = inputN1 * (1 - (inputR ** inputN)) / (1 - inputR)


print('{}번째 항까지의 합 : {}'.format(inputN, int(sumN)))

이 글은 제로베이스 데이터 취업 스쿨의 강의자료 일부를 발췌하여 작성되었습니다.