2458번: 키 순서

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문제

1번부터 N번까지 번호가 붙여져 있는 학생들에 대하여 두 학생끼리 키를 비교한 결과의 일부가 주어져 있다. 단, N명의 학생들의 키는 모두 다르다고 가정한다. 예를 들어, 6명의 학생들에 대하여 6번만 키를 비교하였고, 그 결과가 다음과 같다고 하자.

• 1번 학생의 키 < 5번 학생의 키
• 3번 학생의 키 < 4번 학생의 키
• 5번 학생의 키 < 4번 학생의 키
• 4번 학생의 키 < 2번 학생의 키
• 4번 학생의 키 < 6번 학생의 키
• 5번 학생의 키 < 2번 학생의 키

이 비교 결과로부터 모든 학생 중에서 키가 가장 작은 학생부터 자신이 몇 번째인지 알 수 있는 학생들도 있고 그렇지 못한 학생들도 있다는 사실을 아래처럼 그림을 그려 쉽게 확인할 수 있다. a번 학생의 키가 b번 학생의 키보다 작다면, a에서 b로 화살표를 그려서 표현하였다.

1번은 5번보다 키가 작고, 5번은 4번보다 작기 때문에, 1번은 4번보다 작게 된다. 그러면 1번, 3번, 5번은 모두 4번보다 작게 된다. 또한 4번은 2번과 6번보다 작기 때문에, 4번 학생은 자기보다 작은 학생이 3명이 있고, 자기보다 큰 학생이 2명이 있게 되어 자신의 키가 몇 번째인지 정확히 알 수 있다. 그러나 4번을 제외한 학생들은 자신의 키가 몇 번째인지 알 수 없다.

학생들의 키를 비교한 결과가 주어질 때, 자신의 키가 몇 번째인지 알 수 있는 학생들이 모두 몇 명인지 계산하여 출력하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 학생들의 수 N (2 ≤ N ≤ 500)과 두 학생 키를 비교한 횟수 M (0 ≤ M ≤ N(N-1)/2)이 주어진다.

다음 M개의 각 줄에는 두 학생의 키를 비교한 결과를 나타내는 N보다 작거나 같은 서로 다른 양의 정수 a와 b가 주어진다. 이는 번호가 a인 학생이 번호가 b인 학생보다 키가 작은 것을 의미한다.

출력

자신이 키가 몇 번째인지 알 수 있는 학생이 모두 몇 명인지를 출력한다.

설명

맨 처음에 위상정렬문제인줄 알았으나 위상정렬로는 확실하게 순서를 알 방법이 없다. 밑의 알고리즘 분류에서 플로이드-와샬태그를 보고 이를 이용한 문제임을 깨달았다.

가장 주의해야 할 점은 키의 비교결과를 무방향그래프로 표현하면 안된다. 물론 무방향그래프로하고 나중에 후처리를하면 가능할지도 모르겠지만 내가 사용한 방법은 방향그래프를 이용한 방법이다.

방향그래프로 플로이드-와샬 알고리즘을 사용하면 한 사람으로부터 '이 사람보다는 키가 크다'를 알 수 있는데 이를 반대로 적용하면 '이 사람보다는 키가 작다'도 알 수 있다. 이를 이용해 알고리즘 적용후 나보다 키가 큰사람 혹은 작은사람의 숫자를 세고 N-1이라면 위치를 확정할 수 있는 것이다.

코드

#include <iostream>
#define endl '\n'
#define MAX 500

using namespace std;

bool able[MAX][MAX];
int N, M;

void solve() {
	cin >> N >> M;
	while (M--) {
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		able[a - 1][b - 1] = true;
	}

	for (int k = 0; k < N; ++k) {
		for (int i = 0; i < N; ++i) {
			for (int j = 0; j < N; ++j) {
				if (able[i][k] == false || able[k][j] == false) continue;
				able[i][j] = true;
			}
		}
	}

	int answer = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i) {
		int cnt = 0;
		for (int j = 0; j < N; ++j) {
			if (able[i][j] || able[j][i]) cnt += 1;
		}
		if (cnt == N - 1) answer += 1;
	}
	cout << answer;
}

int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);
	//freopen("input.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}