신장 트리는 그래프 알고리즘 문제로 자주 출제되는 문제 유형이다. 기본적으로 신장 트리란 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다. 이때 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 하다. 그래서 이러한 그래프를 신장 트리라고 부르는 것이다.
[크루스칼 알고리즘] : 최소 신장 트리 알고리즘 중 하나
신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 '최소 신장 트리 알고리즘' 이라고 한다. 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로는 크루스칼 알고리즘(Kruskal)이 있다.
먼저 모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 뒤에 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시키면 된다. 이때 사이클을 발생시킬 수 있는 간선의 경우 집합에 포함시키지 않는다.
최소 신장 트리는 일종의 트리 자료구조이므로 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수가 '노드의 개수 -1'과 같다는 특징이 있다.
▶ 크루스칼 알고리즘의 핵심 원리는 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다는 것!
[크루스칼 알고리즘 소스코드.py]
#크루스칼 알고리즘 소스코드
#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent,x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent,parent[x])
return parent[x]
#두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
a = find_parent(parent,a)
b = find_parent(parent,b)
if a>b:
parent[a]=b
else:
parent[b]=a
#노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v,e = map(int,input().split())
parent = [0]*(v+1)
#모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
#부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1,n+1):
parent[i]=i
#모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a,b,cost = map(int,input().split())
#비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost,a,b))
#간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
#간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost,a,b=edge
#사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent,a)!=find_parent(parent,b):
union_parent(parent,a,b)
result+=cost
print(result)[크루스칼의 시간 복잡도]
크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.
