😊시작하기 전...
취미로 수학을 공부하는 것이였는데, 뭔가 점점 필요성, 유용함을 느끼게 되서 기록을 남겨보기로 했다. 그래서 틀린 게 있을 수도 있으니 무조건 믿진 말 것!
(설마 아주 많진 않을 것이다.)
도입
원래는 내가 수학 공부할 때 가장 충격적이였던 것인 자연수, 정수의 개수가 같다를 먼저 다룰려 했지만 얼렁뚱땅 넘기는 내용이 많아 좀 지루해도 공리(axiom)를 먼저 다루기로 했다.
공리는 집합의 정의에서 시작된다. 집합이란 흔히 '기준잡고 분류한 것'이라 여겨진다. 마치 고양이와 고양이가 아닌 것, 우리와 남과 같은 식으로 말이다.
이런 것들이 뜬구름 잡는 소리 같이 느껴진 적이 다들 있지 않나?
머리를 스스로 자르지 않는 사람만 내가 잘라줄게요.
라고 동네의 미용사가 말했다고 하자(어릴 때 수학 도둑에서 본 거 같은데 사실 '이발사 역설'임). 그러면 이 이발사는 어느 분류에 속할까? 대참사가 벌어진다.
스스로 머리를 자르지도, 이발 받지도 않는 상호베타적 상태가 양립하는....요상한 일이 벌어진다.
이처럼 집합을 정의하는 과정에서 문제가 발생하였고 이를 더 논리적으로 만들기 위해 공리(axiom)가 도입된 것이다.
공리
공리는 우리가 수학에서 말하는 약속에 멋있는 말이다. 증명 불가능한 사실들, 우리가 실재하는지 알 수 없는 대상들을 논리의 전개를 위해 참 또는 거짓이라 믿는다는 의미이다.
그래서 사실 공리는 믿음의 문제이기에 '1은 자연수가 아니야!'라고 해도 틀린 말은 아니다. 실제로 수학자 중에서 특정 공리를 받아들이지 않는 분들도 있다고 하니 말이다.
페아노 공리
다음 포스트를 자연수, 정수, 유리수 집합에 대해 다룰거라 관련된 공리를 보고 가겠다. 자연수 집합은 다음의 공리들로 정의된다.
공리 1. 1은 자연수이다.
사실 1은 기호이지 존재가 증명되어 실재되는 것이 아니다. 이런 말을 하면 가장 많이 듣는 게'사과 한 개 있잖아' 인데 이것은 그냥 사과가 하나 존재하는 것일 뿐이다. 이처럼 '공리 1'은 1이란 기호를 자연수라고 약속을 하자라는 뜻이다.
여기서 이제 계승자(Successor)라는 개념이 더 필요한데, 현시점에서 더하기도 약속하지 않았고 2,3,4.....라는 자연수들도 약속하지 않았다. 때문에 1 이후의 자연수들인 2,3,4.....를 약속하기 위한 중간 다리 정도로 생각하면 좋다.
2를 잠깐 1의 계승자라고 부르자는 것!
공리2. n이 자연수 일 때, n의 계승자 n'은 자연수다.
ex)1이 자연수 일 때, 1의 계승자 1'은 자연수다(프라임이라고 읽는다).
1'의 계승자는 1''이다. 1''의 계승자는 1'''이다. 2,3,4......이렇게 계승자를 이용해 기호를 약속해 주는 것이다.
사실 여기서 우리를 짜증나게 하는 사실은 더하기도, 1다음에 2라는 순서도 부여하지 않았다. '1이후의 자연수'라는 표현은 우리가 이미 자연수 체계를 알고 있어서 그렇게 말할 수 있는 것이지, 자연수가 막 정의되기 시작한 시점이라 생각하면 계승자가 순서대로 이어질지 누가 확신할 수 있겠는가?
(때문에 최대한 순서가 연상될 수 있는 단어를 뺄려고 노력했다..)
막 자연수가 5개에서 순환할 수도, 1이 제일 작은 자연수가 아닐 수도 있지 않은가?
그래서 옛날 사람들이 좀 변태적이게 우리가 아는 순서있는 구조를 만들고자 가능한 구조 목표외의 구조는 모두 제거하는 방식으로 아래의 공리들을 만들었다.
공리3. n'=1인 자연수 n은 없다.
이런 구조를 생각해보자. 1은 a라는 수의 a'이였던 것임. 그러면 자연수 체계에서 1보다 더 앞전에 존재한 수가 있는 것이니 위의 공리는 이를 제거하기 위한 것이다. 즉, 1을 가장 작은 수로 약속하겠다는 것이다.
공리 4. m과 n이 다르면, m'과 n'은 다르다.
계승자가 돌고 돌 수도 있지 않을까? 1'->1''->1'''->1'''' 고등학교 때 주기 수열을 생각하면 편할 듯 싶다. 또 계승자가 겹칠 수 있다. 다른 어떤 a라는 수에서 1'이 되고, 1에서 1'으로 될 수도 있다.
위는 이 두 개의 상황을 제거하기 위한 공리이다. 즉, 자연수의 유일성을 만들어 주기 위함이라 생각할 수 있다.
마지막 공리다.
공리5. 어떤 집합의 부분집합 S에 대하여 1이 S의 원소이고, S의 임의의 원소 n에 대하여 n'(n의 계승자)이 S의 원소이면 S는 집합의 전체와 같다.
이런 상황을 한 번 생각해보자. 세계인이 손에 손잡고 걸어가고 있는데 나만 뒤에서 지켜볼 뿐이다. 어떤 계승자를 이렇게 왕따를 시키지 않겠다는 목적으로 나온 공리이다. 내가 다른 세계인(부모님)의 계승자이면 나는 무조건 세계인 집합의 원소라는 말이다.
마무리
원래는 덧셈, 곱셈까지 정의하고 싶었지만,,,, 너무 글이 길어지는 것 같아 다음에 써봐야겠다. 쉽게 글을 쓰는 것이 목적인데 역시 한국말이 제일 어렵다. 머리 속에 있는 걸 말로 표현을 잘할 수 있는데 글로 하는 건 다른 영역의 문제 같다. 좋은 표현들 있음 추천 바란다.
