위상정렬

위상정렬을 알기전에 진입차수(indegree), 진출차수(outdegree)의 개념을 알아야한다. 다음 게시글을 참고하자. https://velog.io/@prkty/%EA%B7%B8%EB%9E%98%ED%94%84vertex-edge-node-arc

[참고 사이트]

https://blog.encrypted.gg/1020

https://velog.io/@kimdukbae/%EC%9C%84%EC%83%81-%EC%A0%95%EB%A0%AC-Topological-Sorting

https://velog.io/@orcasuit/%EC%9C%84%EC%83%81-%EC%A0%95%EB%A0%ACTopological-Sorting%EC%9D%98-%EC%A0%95%EC%9D%98%EC%99%80-%ED%8A%B9%EC%A7%95

위상정렬

방향 그래프에서 간선으로 주어진 정점 간 선후관계를 위배하지 않도록 나열하는 정렬.

순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행할 때 사용할 수 있음.

정점의 선형 순서를 표현하는 걸 위상정렬이라 한다. 본인이 본인 참조를 하지 않고 사이클이 없다.

특징

• 위상 정렬은 사이클이 없는 방향 그래프 (DAG)에 대해서만 수행
• 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있다. 한 큐에서 indegree가 0인 정점들중에서는 어떤 순서로 와도 상관이없기 때문에 가능.
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 비게 된다면 사이클이 존재한다고 판단 가능. (루프돌아서 못빠져나온다)
  왜냐하면 사이클에 포함된 원소 중에서 해당되는 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못하게 되기 때문이다.
• 보통 큐로 구현하나, 스택을 이용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 구현 가능.
• 시간 복잡도는 O(V+E)이다. 모든 노드V를 확인하면서, 출발하는 간선E를 제거해야하기 때문이다.
• 사용되는 예시는 작업 스케줄링, 컴파일러, 과목 선택 등이 있다.

알고리즘 구현 순서

1. 맨 처음 모든 간선을 읽으며 indegree 테이블을 채움
2. indegree가 0인 정점들을 모두 큐에 넣음
3. 큐에서 정점을 꺼내어 위상 정렬 결과에 추가
4. 해당 정점으로부터 연결된 모든 정점의 indegree 값을 1 감소시킴 이 때 indegree가 0이 되었다면 그 정점을 큐에 추가
5. 큐가 빌 때까지 3, 4번 반복

위상정렬 전

위상정렬 후(자세한 과정은 바킹독 사이트 참고)

구성의 편의를 위한 성질

• 정점과 간선을 실제로 지울 필요 없이 미리 indegree의 값을 저장했다가 매번 뻗어나가는 정점들의 indegree 값만 1 감소시켜도 수행 가능
• indegree가 0인 정점을 구하기 위해 매번 모든 정점들을 다 확인하는 대신 목록을 따로 저장하고 있다가 직전에 제거한 정점에서 연결된 정점들만 추가

파이썬 위상 정렬 알고리즘 코드

리스트나 deque 자료형을 사용하여 위상 정렬을 구현가능하다고 합니다.

[박지훈님의 코드]

import sys
from collections import deque

input = sys.stdin.readline
# 노드의 개수와 간선의 개수 입력
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트
graph = [[] for _ in range(v + 1)]

for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = []
    q = deque()

    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    while q:
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1빼기
        for g in graph[now]:
            indegree[g] -= 1
            if indegree[g] == 0:
                q.append(g)

    # 위상 정렬 수행한 결과 출력
    for res in result:
        print(res, end=' ')

topology_sort()

# sample input
# 7 8
# 1 2
# 1 5
# 2 3
# 2 6
# 3 4
# 4 7
# 5 6
# 6 4

[김건우님의 코드]

from collections import deque

def topological_sort(graph):
    indegree = {node: 0 for node in graph}
    for node in graph:
        for neighbor in graph[node]:
            indegree[neighbor] += 1

    queue = deque([node for node in graph if indegree[node] == 0])
    sorted_nodes = []

    while queue:
        current = queue.popleft()
        sorted_nodes.append(current)

        for neighbor in graph[current]:
            indegree[neighbor] -= 1
            if indegree[neighbor] == 0:
                queue.append(neighbor)

    return sorted_nodes

graph = {'A': ['D', 'F'], 'B': ['D', 'E'], 'C': ['F'], 'D': ['G'], 'E': ['G'], 'F': [], 'G': []}
print(topological_sort(graph))

시간나는 대로 두 코드를 이해해보겠다.

+++[입력가능한 새로 찾은 코드]

import sys
input = sys.stdin.readline
from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
N, M = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (N + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
# 노드 갯수 N만큼 리스트 만든다
graph = [[] for i in range(N + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(M):
    A, B = map(int, input().split())
    graph[A].append(B) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가(A가 부모고 B가 자손이므로)
    indegree[B] += 1


# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용(디그리가 0인 정점 저장)

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, N + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()  # 디그리 0인 정점 빼서 결과에 넣음
        result.append(now)
        
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()