[ 백준 / 파이썬 ] 골드 2 - 11444. 피보나치 수 6

난이도

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

예제

입력	출력
1000	517691607

풀이

입력의 범위가 무려 $10^{18}$이나 되는 엄청난 큰 수가 입력된다.

이것만 봐도 기존의 DP 방식으로는 문제를 풀 수 없을거라고 생각했고, 피보나치 수를 구할 수 있는 새로운 공식을 검색해봤다.

도가뉴 항등식이라는 것을 알아냈고,
이 항등식은 $F_{m+n} = F_{m-1}F_n+F_mF_{n+1}$ 이다.

이 항등식에 $m$ 대신 $n$을 대입해보면
$F_{n+n} = F_{n-1}F_n + F_nF_{n+1}\\ F_{2n} = F_n(F_{n-1} + F_{n+1})\\$ 이 된다.

여기서 피보나치 수는
$F_0 = 0, F_1 = 1, F_n = F_{n_1} + F_{n-2} \; (n \geq 2)$
라는 성질을 가지고 있으므로
$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ 이다.

즉, $\,F_{2n} = F_n(F_{n-1} + F_n + F_{n-1}) = F_n(F_n + 2F_{n-1})$ 이다.

짝수의 피보나치 수는 위와 같이 구할 수 있고,
홀수의 피보나치는
$F_{2n+1} = F_nF_n + F_{n+1}F_{n+1} = F_n^2 + F_{n+1}^2$ 로 구할 수 있다.

코드

from sys import stdin
from collections import defaultdict

input = stdin.readline

MOD = 1000000007

dp = defaultdict(int)

dp[0] = 0
dp[1] = 1
dp[2] = 1


def fibonacci(n):
    if not dp[n]:
        if n & 1:
            fn = fibonacci(n // 2)
            fnp = fibonacci(n // 2 + 1)

            dp[n] = (fn ** 2 + fnp ** 2) % MOD
        else:
            fn = fibonacci(n // 2)
            fnm = fibonacci(n // 2 - 1)

            dp[n] = (fn * (fn + 2 * fnm)) % MOD

    return dp[n]

N = int(input())

fibonacci(N)

print(dp[N])