수학에서의 서로소 집합
공통 원소가 없는 두 집합
e.g. {1,2} {3,4} -> 서로소 관계임 {1,2} {2,3} -> 서로소 관계가 아님
서로소 집합 자료구조
서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
-> 연산 : union + find
union
2개 원소로 이루어진 집합을 하나의 집합으로 합치기
find
특정 원소가 속한 집합이 뭔지 알려주는 연산
-> 서로소 집합 자료구조는 union + find 연산으로 구성되므로 union-find 자료구조라고 불리기도 함
서로소 집합 계산 알고리즘
동작 방법
-
union 연산 확인
: 서로 연결된 두 노드를 확인
1.1 A의 루트 노드 A'과 B의 루트 노드 B'를 찾기 (find)
1.2 A'를 B'의 부모 노드로 설정 (A' < B') -
모든 union 연산을 처리할 때까지 1 반복
구현
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)문제점 : 비효율적인 find 함수
{1,2,3,4,5}의 집합에서 union 연산이 (4,5), (3,4), (2,3), (1,2)와 같다고 할때, 부모테이블은 다음과 같아진다.
노드번호 1 2 3 4 5
부모 1 1 2 3 4
이 경우 5의 루트노드를 찾기 위해서는 5->4->3->2->1 총 O(V)의 시간이 소요된다. 결과적으로 위의 find 함수를 그대로 사용하면 노드의 개수 V개, union나 find 연산의 개수 M개라고 할때 최악의 경우 O(VM)의 시간이 소요된다.
개선된 서로소 집합 알고리즘
경로 압축을 이용해서 최적화를 할 수 있다. find 함수를
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]와 같이 리턴값만 parent[x]로 수정해주면 된다.
개선된 알고리즘으로 루트노드에 더 빠르게 접근할 수 있다.
응용(사이클 판별법)
유니온파인드 알고리즘을 이용해서 무방향 그래프 내에서 사이클을 판별할 수 있다.
각 간선을 확인하면서 두 노드의 루트노드를 확인한다.
1.1 루트 노드가 서로 다르면 -> union 연산 수행
1.2 루트 노드가 서로 같으면 cycle 발생
모든 간선에 대해 1 반복
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
else:
union_parent(parent, a, b)