확률변수

확률변수 $X$
표본의 집합 $S$의 원소 $e$를 실수값 $X(e) = x$에 대응시키는 함수

확률변수의 성질

곱셈법칙
$p(X,Y) = p(X|Y)p(Y) = p(Y|X)p(X)$

베이즈 확률
$p(Y|X) = \cfrac{p(X|Y)p(Y)}{\sum_YP(X|Y)p(Y)}$

$posterior = \cfrac{likelihood \times prior}{normalization}$

posterior : 사후확률
likelihood : 가능도
prior : 사전확률
normalization : $Y$와 상관없는 상수, $X$의 경계확률 $p(X)$

확률변수의 함수
$k$차원의 확률변수 벡터 $\mathbf{x} = (x_1, \dots,x_k)$가 주어졌을 때, $k$개의 $\mathbf{x}$에 관한 함수들 $y_i = g_i(\mathbf{x})$로 나타낼 수 있다.
만약 $y = g(\mathbf{x})$가 일대일 변환인 경우 $(\mathbf{x} = \mathbf{w}(y)$로 유일한 해를 가질 때, $y$의 결합확률밀도함수는

$p_y(y1,\dots,y_k) = p_x(x_1,\dots,x_k)|\mathbf{J}|$

$\mathbf{J} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \frac{\partial x_1}{\partial y_2 } & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial y_k} \\ \\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} & \cdots & & \vdots \\ \\ \dots \\ \\ \frac{\partial x_k}{\partial y_1} & \cdots & & \frac{\partial x_k}{\partial y_k} &\end{vmatrix}$

빈도주의 : 반복가능한 사건들의 빈도수에 기반
베이지안 : 불확실성을 정량적으로 표현