[Review] The MIDAS Touch: Mixed Data Sampling Regression Models - 2

02 Why MIDAS Regression

• 일반 회귀모델에서 highest frequency 데이터를 aggregating을 하여 동일한 low-frequency로 맞춰주는 것은 high frequency 속에 있는 information을 충분히 이용하지 못한다는 문제가 있음.
• MIDAS는 많은 데이터(high frequency)를 사용하면서 more flexible하게 사용할 수 있다는 장점이 있음.
• 하지만 많은 lags를 사용함에 따라 parameter의 수가 증가하는 trade-off가 존재함.

03 MIDAS and Distributed Lag Models: A Comparison

3.1 Aggregation Bias and Aliasing Revisited

point sampling

: $y_t = \int_{(t-1-a)}^{t}y(\tau)d\tau$
: $x_{k/m}=\int_{(k-1-a)}^{k/m}x(\tau)d\tau$

• $x$와 $y$의 frequency가 다름($t$와 $k/m$)
• 그 결과 unbalanced filtering이 일어나게되고 이는 bias의 원인이 됨.
  
  

• discrete time distributed lag model
  : $Y_{t/m}^{(m)} = {1\over{m}}\sum_{s=-\infin}^{\infin}B^{(m)}({{s}\over{m}})X^{(m)}_{(t-s)/m} + U^{(m)}_{t/m}$
• MIDAS regression
  : $Y_{t} = {1\over{m}}\sum_{s=-\infin}^{\infin}\bar{B}^{(m)}({{s}\over{m}})X^{(m)}_{(t-s)/m} + U_{t}$
• DL모델의 경우 $Y$의 frequency를 $X$에 맞춰 늘리지만 MIDAS의 경우 low frequency인 $Y$를 그대로 사용하기 때문에 skip-sampled distributed lag models이라고 볼 수 있음
• skip sampling은 autocorrelated residual을 일으키게 됨
• $({{s}\over{m}})$: 최근에 대한 가중치.
  
  

3.2 Asymptotic Efficiency

sample size

• Distributed lag models: $mT$
• MIDAS: $T$
• m == 1인 경우 DLM과 MIDAS는 동일한 모델이 됨.
  
  

3.2.1 Linear Regression Models