2.2 Definition of RV (확률변수의 정의)

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• $Event$에 대한 특정한 $outcome$을 $real\ number$에 대응시킨다.

RV notation

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• $X(w_i) = x_i$
  • $w_i$에 대한 RV을 $x_i$로 사용한다.
• RV은 영대문자를 사용한다.
  • ex) $X,\ Y,\ Z, \cdots$
• RV의 특정한 값은 소문자를 사용한다.
  • ex) $x_1,\ x_2,\ x_3,\cdots$

2.3 Event Defined by RV

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• Let $Ax$ be an event, $Ax = \{w|X(w)=x\}$

2.4 Distribution Functions

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• For an RV $X$
  • a real value $x$

Cumulative Distribution Function (CDF)

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• 한국어로 ‘누적 부수 분포’라고 한다.
• 특정 범위 안에 전체 확률값을 구할 때 사용한다.

CDF notation

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CDF property

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1. 만약 $x_1 < x_2$라면,

   $F_X(x_1)\leq F_X(x_2)$

2. Non-decreasing

   • 감소하지 않는 성질이 있다.
     • 확률을 누적하기 때문이다.

3. $0\leq F_X(x) \leq 1$

   • 항상 0보다 크거나 같고, 1보다 작거나 같다.

4. $F_X(\infty)=\lim_{x\rightarrow \infty}F_X(x)=1$

   • 모든 누적 확률을 총합은 1이다.

5. $F_X(-\infty)=\lim_{x\rightarrow -\infty}F_X(x)=0$

   • $-\infty$부터 $-\infty$까지 누적확률은 $0$이다.

6. $P(a<X\leq b)=F_X(b)-F_X(a)$

   • 특정 구간 안에 누적확률은 구간 끝 점의 CDF의 차와 같다.

7. $P(X>a)=1-F_X(a)$

   • 1 - CDF는 특정 구간을 제외한 모든 곳의 누적확률과 같다.

2.5 Discrete RV (불연속적인 확률 변수)

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• 확률 변수값이 서로 이어져 있지 않다.
• 주로 정수값을 사용한다.

Probability Mass Function (PMF)

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• 각각의 확률 변수의 확률을 구할 수 있다.

PMF notation

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CDF of discrete RV

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2.6 Continuous RV (연속 확률 변수)

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• 모든 $outcome$을 $real \ value$에 mapping한다.
• $outcome$과 $real\ value$는 셀 수 없이 많다.
• 따라서 특정한 실수값 $x_i$에 대한 $p(X=x_i)$를 구할 수 없다.
• 그래서 continuous RV에 경우 density를 통해 확률을 구한다.

Probability Density Function (PDF)

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• 이는 $\dfrac{0}{0}$ 수렴한다.
• 하지만 분모가 0이 될 수 없으므로 유한한 실수값이 나온다.

• 연속 확률 분포의 확률은 단위 길이 당 밀도값으로 계산한다.
• CDF을 미분한 형태이다.

PDF property

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1. $f_x(x) \geq 0$

   • Non-negative
     • CDF는 항상 누적되기 때문에 CDF의 미분값인 PDF는 항상 양수이다.

2. $\int_{-\infty}^{\infty}\ f_x(x)\ dx=1$

   • 모든 확률의 합은 1이다

3. $P(a<x\leq b)=\int_{a}^{b}f_X(x)\ dx$

   • 구간 안의 확률은 PDF의 적분을 통해 구한다.
   $\begin{aligned} P(a<x\leq b) &=F_X(b)-F_X(a) \\ &=\int_{-\infty}^{b}f_X(x)\ dx-\int^{a}_{-\infty}f_X(x)\ dx \\ &=\int_a^bf_X(x)\ dx \end{aligned}$

4. $P(X<a)=P(X\leq a)$

   • $P(X=a) \rightarrow 0$ 이기 때문에 둘은 서로 같은 값을 가진다.