미분(Derivative)

Seung Joo·2021년 5월 11일

미분 (Derivative)

🤔미분이란

단어 자체는 작을 미(微)와 나눌 분(分), 즉 “작게 나눈다”라는 의미다.

📕미분 공식

$f(x)' = {f(x + \Delta x) - f(x) \over \Delta x}$ , $\Delta x \rightarrow 0$

다음과 같은 미분 공식을 사용한다.

하지만 실제로 0으로 나눌 수 없기 때문에 0에 근사한 값을 사용하게 된다.

$f(x + \Delta x) - f(x - \Delta x) \over 2\Delta x$

한편 numerical method 에서는 조금 더 정확한 값을 측정하기 위해 위의 식을

사용하기도 한다.

$f(x)$ = 상수 $\rightarrow$ $f'(x)$ = 0

$f'(x)$ 가 상수 인 경우에는 x를 아무리 늘리거나 줄여도 늘 같은 숫자이기 때문에 변화가 없다.

즉 변화율이 0이기 때문에 미분계수도 0이다.

📘power rule

❗️power rule 적용 기본식

$f(x) = ax^{n}$ $\rightarrow$ $f'(x) = an{x}^{(n-1)}$

다음과 같은 식을 적용한다.

✅예시

$f(x) = 3x^4 + 10$

먼저 4승에서 하나를 내려보내서 앞에 있는 3과 곱해준다. (10은 상수이기 때문에

미분을 하면 0이 된다.)

$f'(x) = (4*3)x^4$

이후에는 4승에서 1을 빼준다.

$f'(x) = (4*3)x^{4-1}$

최종 f(x)의 도함수

$f'(x) = 12x^3$

x = 2일 때 f'(x)

$f'(2) = 96$

깨봉수학 미분 3편에서 power rule을 상당히 쉽게 설명해주고 있다.

깨봉수학 유튜브 미분 3편 : 3차원 미분

📒chain rule

함수의 함수를 미분하기 위해 사용하는 방식이다.

합성함수라고 부르기도 한다.

양파까기라고 생각하면 이해하기 좀더 쉽다!

❗️chain rule 적용 기본식

$F(x) = f(g(x))$

$F'(x)$ $\rightarrow$ $f'((g(x)) \cdot g'(x)$

✅예시

$F(x) = (2x^3 + 7)^6$ 를 $x$ 에 대해 미분하려는 경우

$f(x) = x^6, g(x) = 2x^3 + 7$ 로 설정

$F'(x) = 6(2x^3 + 7)^5 \cdot 6x^2$

📗지수 함수

지수함수의 미분은 지수 함수이다.

❗️지수함수의 미분 기본 공식

$f(x) = e^x$ $\rightarrow$ $f'(x) = e^x$

지수 함수의 미분 증명 <출처 MATH FACTORY>

📙편미분

편미분은 다변수 함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 간주하여

미분하는 것이다.

❗️편미분 기본 공식

$f(x,y) = x^2 + 2xy + y^2$

${ {\partial f(x,y)} \over {\partial x} } = {{\partial {(x^2 + 2xy + y^2)} } \over {\partial x}} = 2x + 2y$
$y$ 를 상수로 취급하고 $x$ 를 기준으로 미분하거나 $x$ 를 상수로 취급하고 $y$ 를

기준으로 미분하는 것이 편미분이다.

✅예시

$f(x,y) = x^2 + 4xy + 9y^2$ 라는 함수의 편미분

1. $x$ 에 대해 편미분

$\partial f(x,y) \over \partial x$ = $2x + 4y$

2. $y$ 에 대해 편미분

$\partial f(x,y) \over \partial y$ = $4x + 18y$