이친수
문제
0과 1로만 이루어진 수를 이진수라 한다. 이러한 이진수 중 특별한 성질을 갖는 것들이 있는데, 이들을 이친수(pinary number)라 한다. 이친수는 다음의 성질을 만족한다.
이친수는 0으로 시작하지 않는다.
이친수에서는 1이 두 번 연속으로 나타나지 않는다. 즉, 11을 부분 문자열로 갖지 않는다.
예를 들면 1, 10, 100, 101, 1000, 1001 등이 이친수가 된다. 하지만 0010101이나 101101은 각각 1, 2번 규칙에 위배되므로 이친수가 아니다.
N(1 ≤ N ≤ 90)이 주어졌을 때, N자리 이친수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.
풀이
1) 0으로 시작하지 않는다.
2) 1이 두번 연속으로 나타나지 않는다.
- 점화식
(0이 오는 경우) d[i][0] = d[i-1][1] + d[i-1][0];
(1이 오는 경우) d[i][1] = d[i-1][0];
코드
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
/* solution2 */
long[][] d = new long[n+1][2];
d[1][0] = 0;
d[1][1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
d[i][0] = d[i-1][1] + d[i-1][0];
d[i][1] = d[i-1][0];
}
System.out.println(d[n][0] + d[n][1]);
}
}
쉬운 계단수
문제
45656이란 수를 보자.
이 수는 인접한 모든 자리수의 차이가 1이 난다. 이런 수를 계단 수라고 한다.
세준이는 수의 길이가 N인 계단 수가 몇 개 있는지 궁금해졌다.
N이 주어질 때, 길이가 N인 계단 수가 총 몇 개 있는지 구하는 프로그램을 작성하시오. (0으로 시작하는 수는 없다.)
풀이
- 점화식
D[N][L] = N자리 계단수, L마지막수
코드
import java.util.Scanner;
public class Main{
public static void main(String[] args) {
int mod = 1000000000;
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[][]d = new int[n+1][10];
for(int i=1; i<=9; i++) {
d[1][i] = 1;
}
for(int i=2; i<=n; i++) {
for(int j=0; j<=9; j++) {
if( j-1 >= 0 ) d[i][j] += d[i-1][j-1];
if( j+1 <= 9 ) d[i][j] += d[i-1][j+1];
d[i][j] %= mod;
}
}
long answer = 0;
for(int i=0; i<=9; i++) {
answer += d[n][i];
}
System.out.println(answer%mod);
}
}오르막수
문제
오르막 수는 수의 자리가 오름차순을 이루는 수를 말한다. 이때, 인접한 수가 같아도 오름차순으로 친다.
예를 들어, 2234와 3678, 11119는 오르막 수이지만, 2232, 3676, 91111은 오르막 수가 아니다.
수의 길이 N이 주어졌을 때, 오르막 수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 수는 0으로 시작할 수 있다.
풀이
- 점화식
D[N][L] = N자리 오르막수, 마지막 수 L
코드
import java.util.Scanner;
public class Main{
public static void main(String[] args) {
int mod = 10007;
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[][] d = new int[n+1][10];
for(int i=0; i<=9; i++) {
d[1][i] = 1;
}
for(int i=2; i<=n; i++) {
for(int j=0; j<=9; j++) {
for(int k=j; k<=9; k++) {
d[i][j] += d[i-1][k];
}
d[i][j] %= mod;
}
}
long answer = 0;
for(int i=0; i<=9; i++) {
answer += d[n][i];
}
System.out.println(answer%mod);
}
}계단오르기
계단 오르기 게임은 계단 아래 시작점부터 계단 꼭대기에 위치한 도착점까지 가는 게임이다. <그림 1>과 같이 각각의 계단에는 일정한 점수가 쓰여 있는데 계단을 밟으면 그 계단에 쓰여 있는 점수를 얻게 된다.
예를 들어 <그림 2>와 같이 시작점에서부터 첫 번째, 두 번째, 네 번째, 여섯 번째 계단을 밟아 도착점에 도달하면 총 점수는 10 + 20 + 25 + 20 = 75점이 된다.
계단 오르는 데는 다음과 같은 규칙이 있다.
계단은 한 번에 한 계단씩 또는 두 계단씩 오를 수 있다. 즉, 한 계단을 밟으면서 이어서 다음 계단이나, 다음 다음 계단으로 오를 수 있다.
연속된 세 개의 계단을 모두 밟아서는 안 된다. 단, 시작점은 계단에 포함되지 않는다.
마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다.
따라서 첫 번째 계단을 밟고 이어 두 번째 계단이나, 세 번째 계단으로 오를 수 있다. 하지만, 첫 번째 계단을 밟고 이어 네 번째 계단으로 올라가거나, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 계단을 연속해서 모두 밟을 수는 없다.
각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어질 때 이 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.
풀이
- 한번에 한 계단, 두 계단씩
- 연속된 세 개의 계단을 모두 밟아선 안됨
- 마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다
- 점수 최댓값 구하기
- 점화식
d[n] = 마지막 계단 도착시 점수 최댓값
D[i][0] -> 0개 연속 -> 없음.
D[i][1] -> 1개 연속, i-1번째 계단은 밟으면 안됨
D[i][1] = Max(D[i-2][1], D[i-2][2]) + A[i]
D[i][2] -> 2개 연속, i번째 계단은 밟아야 하고, 반드시 1개 연속해서 올라온 계단이어야 함
D[i][2] = D[i-1][1] + A[i]
코드
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[] a = new int[n+1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = sc.nextInt();
}
int dp[][] = new int[n+1][3];
dp[1][1] = a[1];
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i][1] = Math.max(dp[i-2][1], dp[i-2][2]) + a[i];
dp[i][2] = dp[i-1][1] + a[i];
}
System.out.println(Math.max(dp[n][1], dp[n][2]));
}
}스티커
상근이의 여동생 상냥이는 문방구에서 스티커 2n개를 구매했다. 스티커는 그림 (a)와 같이 2행 n열로 배치되어 있다. 상냥이는 스티커를 이용해 책상을 꾸미려고 한다.
상냥이가 구매한 스티커의 품질은 매우 좋지 않다. 스티커 한 장을 떼면, 그 스티커와 변을 공유하는 스티커는 모두 찢어져서 사용할 수 없게 된다. 즉, 뗀 스티커의 왼쪽, 오른쪽, 위, 아래에 있는 스티커는 사용할 수 없게 된다.
모든 스티커를 붙일 수 없게된 상냥이는 각 스티커에 점수를 매기고, 점수의 합이 최대가 되게 스티커를 떼어내려고 한다. 먼저, 그림 (b)와 같이 각 스티커에 점수를 매겼다. 상냥이가 뗄 수 있는 스티커의 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. 즉, 2n개의 스티커 중에서 점수의 합이 최대가 되면서 서로 변을 공유 하지 않는 스티커 집합을 구해야 한다.
위의 그림의 경우에 점수가 50, 50, 100, 60인 스티커를 고르면, 점수는 260이 되고 이 것이 최대 점수이다. 가장 높은 점수를 가지는 두 스티커 (100과 70)은 변을 공유하기 때문에, 동시에 뗄 수 없다.
풀이
항상 2행을 가짐.
1) 한장도 안 뗀 경우
2) 위 행을 뗀 경우
3) 아래 행을 뗀 경우
- 점화식
(한장도 안 뗀 경우) d[n][0] = max(d[n-1][0],d[n-1][1],d[n-1][2]);
(위 행을 뗀 경우) d[n][1] = max(d[n-1][0],d[n-1][2]) + a[n][0];
(아래 행을 뗀 경우) d[n][2] = max(d[n-1][0],d[n-1][1]) + a[n][1];
코드
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int t = sc.nextInt();
while (t-- > 0) {
int n = sc.nextInt();
long[][] a = new long[n+1][2];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i][0] = sc.nextLong();
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i][1] = sc.nextLong();
}
long[][] dp = new long[n+1][3];
// [0] -> 안찢음
// [1] -> 윗변이 안찢김
// [2] -> 아랫변이 안찢김
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = Math.max(Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]),dp[i-1][2]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][2]) + a[i][0];
dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]) + a[i][1];
}
System.out.println(Math.max(Math.max(dp[n][0],dp[n][1]),dp[n][2]));
}
}
}포도주 시식
효주는 포도주 시식회에 갔다. 그 곳에 갔더니, 테이블 위에 다양한 포도주가 들어있는 포도주 잔이 일렬로 놓여 있었다. 효주는 포도주 시식을 하려고 하는데, 여기에는 다음과 같은 두 가지 규칙이 있다.
포도주 잔을 선택하면 그 잔에 들어있는 포도주는 모두 마셔야 하고, 마신 후에는 원래 위치에 다시 놓아야 한다.
연속으로 놓여 있는 3잔을 모두 마실 수는 없다.
효주는 될 수 있는 대로 많은 양의 포도주를 맛보기 위해서 어떤 포도주 잔을 선택해야 할지 고민하고 있다. 1부터 n까지의 번호가 붙어 있는 n개의 포도주 잔이 순서대로 테이블 위에 놓여 있고, 각 포도주 잔에 들어있는 포도주의 양이 주어졌을 때, 효주를 도와 가장 많은 양의 포도주를 마실 수 있도록 하는 프로그램을 작성하시오.
예를 들어 6개의 포도주 잔이 있고, 각각의 잔에 순서대로 6, 10, 13, 9, 8, 1 만큼의 포도주가 들어 있을 때, 첫 번째, 두 번째, 네 번째, 다섯 번째 포도주 잔을 선택하면 총 포도주 양이 33으로 최대로 마실 수 있다.
풀이
- 포도주 잔을 선택하면 그 잔에 들어있는 포도주는 모두 마셔야 하고, 마신 후에는 원래 위치에 다시 놓아야 한다.
- 연속으로 놓여 있는 3잔을 모두 마실 수는 없다.
- 점화식
d[i][0] = 0개 연속, i-1에 마시든 안마시든 상관 없음.(포도주 마시지 않음)
d[i][1] = 1개 연속, i-1에 마시지 않았어야함.(포도주 마심)
d[i][2] = 2개 연속, i-1에 무조건 마셨어야함.(포도주 마심)
코드
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[] a = new int[n+1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = sc.nextInt();
}
int [][] dp = new int[n+1][3];
dp[1][1] = a[1];
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i][0] = Math.max(Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][2]),dp[i-1][0]);
dp[i][1] = dp[i-1][0]+ a[i];
dp[i][2] = dp[i-1][1] + a[i];
}
System.out.println(Math.max(Math.max(dp[n][1], dp[n][2]),dp[n][0]));
}
}
