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증명에서의 역할

• 공리 (Axioms)
  • 증명 과정에서 기본적인 출발점이나 근거가 되며, 논증의 기반을 제공합니다.
• 정의 (Definitions)
  • 증명 대상이 되는 개념이나 성질을 명확히 이해하는 데 도움을 주고, 정확한 수학적 언어로 표현하게 해줍니다.
• 정리 (Theorems)
  • 새로운 증명을 하는 데 있어서, 이미 증명된 결과를 활용하게 해주며, 증명 과정을 단순화하고 구조화하는 데 도움을 줍니다.

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직접증명법의 예

예시: 짝수의 합은 짝수이다.

전제:
1. 짝수는 2로 나누어떨어지는 정수이다.
2. 정수 (a)와 (b)가 짝수이면, 각각을 2의 배수인 형태로 표현할 수 있다. 즉, (a = 2k) 그리고 (b = 2m) ((k, m)은 정수).

결론: 짝수 (a)와 짝수 (b)의 합 (a + b)는 짝수이다.

증명:
1. 짝수 (a)와 (b)를 각각 (a = 2k) 그리고 (b = 2m) 형태로 표현합시다. 여기서 (k, m)은 정수입니다 (전제 2).
2. (a + b)를 구하면, (a + b = 2k + 2m).
3. 공통 인수를 빼내면, (a + b = 2(k + m)).
4. 여기서 (k + m)은 정수이므로, (a + b)는 2의 배수입니다.
5. 그러므로, (a + b)는 짝수입니다 (전제 1).

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간접증명법 (Indirect Proof)과 대우증명법 (Contrapositive Proof)

간접증명법과 대우증명법은 수학 또는 논리학에서 사용되는 증명 전략이며, 둘 다 관련 있지만 다른 방법입니다. 이들의 정의와 차이를 이해하겠습니다.

간접증명법 (Indirect Proof)

간접증명법은 원래의 명제의 부정을 가정하고, 그 부정이 모순이거나 이미 알려진 사실과 논리적으로 충돌함을 보임으로써 원래의 명제가 참임을 증명하는 방법입니다. 간접증명법에는 다음 두 가지 주요 형태가 있습니다.

1. 모순에 의한 증명 (Proof by Contradiction)

   • 명제 ( P )의 부정 ( \neg P )을 가정합니다.
   • ( \neg P )이 모순을 초래함을 보입니다.
   • 따라서, ( P )가 참임을 결론짓습니다.

2. 대우증명법 (Proof by Contrapositive)

   • 명제 ( P \Rightarrow Q )가 주어진 경우, 그 대우인 ( \neg Q \Rightarrow \neg P )를 증명합니다.
   • ( \neg Q \Rightarrow \neg P )가 참이므로, ( P \Rightarrow Q )도 참입니다.

대우증명법 (Contrapositive Proof)

대우증명법은 간접증명법의 한 형태로, "만약 ( P )이면 ( Q )"의 형태의 명제가 주어진 경우, "만약 ( \neg Q )이면 ( \neg P )"를 증명함으로써 원래의 명제 "만약 ( P )이면 ( Q )"가 참임을 보입니다.

정리

간접증명법은 여러 전략을 포함하는 넓은 범주의 증명 전략이며, 대우증명법은 간접증명법의 한 형태로, 특정한 상황에서 사용되는 전략입니다. 따라서, 대우증명법은 간접증명법에 포함되는 것으로 볼 수 있습니다.