편미분∂ 전미분d 변화량Δ 그래디언트∇

참고자료:
https://m.blog.naver.com/kmc7468/221898862253
https://gosamy.tistory.com/240

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두 개 이상의 변수를 받는 함수를 다변수함수라 한다. 미분은 두 변수 a, b가 있을 때 a의 변화량에 대한 b의 변화량과 같이 정의되는데, 다변수함수에는 변수가 많으니 모든 변화량을 정의하기 위해 미분의 종류가 여러가지다.

편미분 ($\partial$)

여러 변수 중 하나만 특정하여 미분하는 방식이다. 다변수함수 $f(x,y,z)$가 있을 때 $x$에 대한 편미분은 $f'_x$나 $\frac{\partial f}{\partial x}$로 나타낸다. $x$에 대해 미분할 때는 $y, z$는 상수로 간주하고 미분한다.

$f(x,y,z)=2xy+3xz+yz \\ f'_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2y+3z \\ f'_y=\frac{\partial f}{\partial y}=2x+z \\ f'_z=\frac{\partial f}{\partial z}=3x+y$

전미분 ($\text{d}$)

여러 변수를 각각 모두 편미분하여 더한 값으로 정의한다. 다변수함수 $f$가 있을 때 전미분은 $\text{d}f$로 표기한다. 이 때 각 편미분 식에 증분을 곱하여 어떤 변수의 편미분에서 온 건지 표시한다. $x$의 증분은 $\text{d}x$로 표기하고 $x$의 변화량이라는 의미이다.

$f(x,y,z)=2xy+3xz+yz \\ \begin{aligned} \text{d}f&=\frac{\partial f}{\partial x}\text{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\text{d}y + \frac{\partial f}{\partial z}\text{d}z \\ &=(2y+3z)\text{d}x + (2x+z)\text{d}y + (3x+y)\text{d}z \end{aligned}$

변화량 ($\Delta$)

이렇게 정리하고 보니 고등학교 수학과정에서 배웠던 $\Delta$가 의미하는 것이 무엇인지 혼동되어 정리해보았다.
$\Delta x$는 $x$의 미분과는 관련없는 단순한 변화량을 의미한다.

$\Delta x=x_2-x_1$

반면 $\text{d}x$는 $\Delta x$가 0으로 수렴할 때의 변화량을 말한다.

$\text{d}x = \lim_{\Delta x\to 0}\Delta x$

그래디언트 ($\nabla$)

여러 변수를 각각 모두 편미분한 값을 항목으로 가지고 있는 벡터이다. 전미분과 비슷하지만 전미분의 결과는 스칼라이고 그래디언트는 벡터이다.

$f(x,y,z)=2xy+3xz+yz \\ \begin{aligned} \nabla f&=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) \\ &=(2y+3z,2x+z,3x+y) \end{aligned}$

이때 정규직교벡터(orthonormal vector) 표기를 활용하여 아래와 같이 나타내기도 한다.

$\nabla f=(2y+3z)i+(2x+z)j+(3x+y)k \\ \text{where} \ i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)$