앞부분까지는 C언어로 코딩을 했을 때 어떻게 컴퓨터가 이해할 수 있는 언어로 변환되는가에 대해서 공부했다. 예를 들어 a=b+c; 를 할 때, add a, b, c가 되고 op,rs,rt,rd,shamt,funct의 비트를 알았지만, 여기서 rt와 rd가 더해지는 과정 즉, ALU의 연산과정을 빼먹었었다. 이제부터는 CPU자체의 연산에 대해 알아보자.

0x01. 컴퓨터에서 숫자의 표현

1.1 개요

(1) 정수(Integers)

• 정수의 표현
  • Unsigned integers
  • Signed integers
• 정수의 연산
  • 덧셈, 뺄셈
  • 곱셈, 나눗셈
• 표현할 수 있는 수를 넘어선 overflow가 나타날 경우 어떻게 해야하나?

(2) 실수(Real numbers)

• 소숫점의 표현(Floating-point)
  • IEEE 754 표준에서 만듬
• 실수의 연산
  • 덧셈, 뺄셈
  • 곱셈, 나눗셈

1.2 Signed와 Unsigned 라는 숫자

1.3 음수의 표현 방법

• 총 3가지가 있다.
  • Signed magnitude
  • 1의 보수
  • 2의 보수

(1) Signed Magnitude

📝 MSB가 1이면 음수, 0이면 양수로서 부호로 사용하고, 나머지를 진짜 숫자로 사용.

• 최대값

  • 

• 최솟값

  • 

• 이렇게 표현할 때 문제가 있다. 2진수의 계산이 힘들어 진다는 것이다.

  • 예를 들어 0001은 1, 1001은 -1 을 더해보면

    1001 + 0001 = 1010

    (-1) (1) (0 이어야 함) 의미상으로 는 0000이 나와야 하나 실제는 다르게 나온다.

이것을 해결하기 위해 나온 것이 1의 보수이다.

(2) 1의 보수(1's complement)

📝 음수를 표현할 때 2진수 0을 1로, 1을 0으로 바꾼다. 즉 뒤집는다.

• 양수는 (1)의 방식과 똑같다.

  • 

• 그러나 음수의 표현이 다르다.

  • 

• 표현범위 : $-(2^{31}-1) ~ -0 , +0 ~ 2^{31}-1$

• 요거는 그나마 괜찮은데 +0, -0이 나와서 쫌 그렇다. 이걸 개선한게 2의 보수이다.

(3) 2의 보수(2's complement)

📝 (1의 보수) + 1 이 2의 보수 표현이다.

• 역시 양수의 표현은 위 (1),(2)의 방식과 같다.

  • 

• 그러나, 또 음수의 표현이 다르다.

  • 

• 표현범위 : $[-2^{31}$ , $2^{31}-1]$

• 덧셈기호만으로 뺄셈을 할 수가 있으므로 효율성이 높다.

  • ex) a-b = a+(-b)

쉽게 2의 보수를 구하는 방법: 처음나오는 나오는 1을 놔두고 왼쪽부분을 다 뒤집는다.

ex) $0101_{(2)}$(10진법으로 6)에서 처음나오는 1을 놔두고 좌측 010을 101로 뒤집는다. 그럼 1011이 -6이된다.

1.4 signed, unsigned일 때 MIPS 산술 명령어

• $t1이 32-bit binary 1111 0101 ⋯ 0101을 포함하고 있다면 slt $t0, $t1, $zero $t0에는 무엇이 저장될까?
• 그 결과는 $t1이 signed냐 unsigned냐에 따라 달라진다.
  • 따라서, 컴파일러나 프로그래머는 slt를 사용할지 sltu를 사용할지를 꼭 고려해야한다.
• [The answer]
  • slt $t0, $t1, $zero : $t0에 1 저장
  • sltu $t0, $t1, $zero : $t0에 0 저장

0x02. 컴퓨터의 2진수 덧셈과 뺄셈

2.1 덧셈 뺄셈

• 컴퓨터에서 2진수의 덧셈은 10진수의 덧셈과 동일하다.
• 하지만, 뺄셈은 다르다.
  • 예를들어 A-B를 할 때 A+(-B)로 바꾼다.
  • -B는 B의 1의보수(B') + 1 이다.
  • 따라서, A-B = A+B'+1
• 예시) 7+6을 이진법으로 더하고 빼시오.
• [덧셈]
  • 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 = 7
  • 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 = 6
  • 
    • 가장 오른쪽 비트 연산은 1+0이다. 합은 1이고 올림수(carries)는 0이다.
    • 두 번째 자리 덧셈은 0+1+1이다. 합은 0이고 올림수(carries)는 1이다.
    • 세 번째 자리 덧셈은 1+1+1이다. 합은 1이고 올림수(carries)도 1이다.
    • 네 번째 자리 덧셈은 1+0+0이다. 합은 1이고 올림수(carries)는 없다.
• [뺄셈]
  • <1. 그냥 빼기>
  • 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 = 7
  • 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 = 6
    • 그냥 바로 뺄셈을 하여 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 = 1이 나올 수도 있다.
  • <2. 보수 이용하기> : 7+(-6) = 7 + (6'+1)
  • 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 = 7
  • 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1010 = -6
    • 이제 두 바이너리를 더하면 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 = 1이 나온다.

2.2 오버플로우

(1) 오버플로우란?

• 컴퓨터가 표현가능한 수는 한계가 있다.
  • 32bit 레지스터를 사용하는 컴퓨터는 $-2^{31} - 2^{31}-1$ 이다.

그런데 한계의 범위를 벗어나면 ❓❓❓

• 그것이 오버플로우다.

• 예를 들어 4-bit짜리가 있다. 그럼 표현가능한 수는 $-2^3 ~ 2^3-1$ 즉 -8 ~ 7 이다. 이제 5+4를 해보자. 인간이 봤을 때 0101 + 0100 = 1001이므로 9이다. 컴퓨터에서도 과연 그럴까?

  • 컴퓨터는 반드시 MSB를 신경써야 한다. 1001의 MSB가 1이므로 음수이다. 이 수에다 2의 보수를 취해보면 7이므로 2진수 1001은 -7이다.
  • 그러나, 사실 9가 나와야하는데 컴퓨터 저장 용량의 한계로 인해 9가 아니라 -7이라는 숫자가 나와버렸다. 즉 오버플로우 되어버렸다.

(2) 오버플로우 특징

• 음수와 양수를 더할 때는 오버플로우가 나지 않는다.
• 두 양수를 더했을 때 MSB가 1이라면 오버플로우가 난다.(양수+양수=음수가 되었으므로)
• 두 음수를 더했을 때 MSB가 0이라면 오버플로우가 난다.(음수+음수=양수가 되었으므로)
• 즉, MSB의 CarryIn 과 MSB의 CarryOut이 같지 않을 때 발생한다.
• 

단, unsigned의 오버플로우는 MSB의 CarryOut만 본다. CarryOut이 1이면 오버플로우다.

2.3 MIPS의 ALU

💡 ALU: Arithmetic Logic Unit의 약자로 연산을 하는 CPU내의 연산장치이다.