[수학공부] Picard Theorem

Picard Theorem을 공부하게 된 이유는 Neural ODE 논문의 Uniqueness 부분에 있었기 때문이다.

Picard Theorem은 Picard-Lindelof theorem, Picard's uniqueness theorem, Cauchy-Lipschitz theorem 으로 불린다.

암튼, 1계 상미분 방정식 (Ordinary Differential Equations)의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다.

정의
$D \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n$ (closed rectangle)
$f:D \rightarrow \mathbb{R}^n$ locally lipschitz continuity.
(즉, 임의의 $x$에 대해서 $\forall y\in B_\delta(x)$에 $||f(t,x)-f(t,y)|| \leq K||x-y||$인 상수 $\delta$와 $k$가 존재한다.)
이때, 1계 initial value problem (IVP) $y'(t) = f(t,y(t))$, $y(t_0) = y_0$ 가 구간 $[t_0-\epsilon,t_0+\epsilon]$에서 유일한 해를 가지는 양수 $\epsilon$이 존재한다.

Picard Theorem에 의해서 두가지를 알 수 있다.

        1. 해의 존재성 2. 해의 유일성. 

Picard-Lindelof theorem은 IVP의 해의 유일성보장 하지만, 만족해야하는 조건이 엄청 간단하다는 점에서 유용하다.

해의 존재성에 대해서 증명을 해보자!

바나흐 고정점 정리를 이용한 증명.

$y'(t)$를 적분하면, 다음과 같다. 이때, 우리는 아직 해를 논할 수 없으니, $\phi(y_t)$라고 한다.
$\phi(y_t) = y_0 + \int_{t_0}^tf(s,y(s))ds$
증명을 하기위해서 compact 집합 k를 아래와 같이 정의한다.
$k = \{(t,y)\in D | |t-t_0|\leq \delta, ||y-y_0|| \leq \delta \}$, $\delta$는 임의의 수다.
Step 1
$\epsilon = min({1\over 2K},{\delta\over M})$

$\epsilon$의 의미는 $\epsilon \leq {1\over 2K}$ or $\epsilon \leq {\delta\over M}$이라는 것을 알 수 있다. 이는 증명에서 유용하게 쓰인다.

이때, 여기서의 $M$은 $|f(t,y(s))| \leq M$이다.

Step 2

$||\phi(y_t)-y_0|| = ||\int_{t_0}^t f(s,y(s))ds|| \leq \int_{t_0}^t||f(s,y(s))||ds \leq M(t-t_0)$ ($\leftarrow|f(t,y(s))| \leq M$ 이므로!)

이때, $(t-t_0) < \epsilon$이므로,
$||\phi(y_t)-y_0|| = ||\int_{t_0}^t f(s,y(s))ds|| \leq \int_{t_0}^t||f(s,y(s))||ds \leq M(t-t_0) \leq M {\delta \over M} \leq \delta$

즉, $||\phi(y_t)-y_0|| \leq \delta$이다.
$\phi(y) \in B_{\delta(y_0)\subset D, \forall y\in k}$

Step 3
$||\phi(x)-\phi(y)|| =||\int_{t_0}^tf(s,x)-f(s,y)ds|| \leq \int_{t_0}^t||f(s,x)-f(x,y)||ds$
$\leftarrow$ Lipschitz 정리 이용.
$\leq \int_{t_0}^tK||x-y||ds = K|t-t_0|||x-y|| \leq K \epsilon (x-y)$ $\leftarrow \epsilon \leq {1\over2K}$
$\leq K {1\over 2K}(x-y) = {1\over 2}|x-y|$
따라서, $\phi$는 축소사상이다.

완.

$\phi$가 축소사상이므로, 바나흐 고정점원리에 의해 이 공간에서 유일한 고정점을 갖는다. (유일한 해를 갖는다.)