[로그] 로그의 뜻

신현호·2022년 5월 8일
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수학

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이번 포스팅에서는 로그의 뜻을 알아보고 이를 이용하여 alogab=ba^{\log_{a}{b}} = b 임을 증명해보도록 하겠습니다.


흔히들 로그는 지수를 거꾸로한 것이라고 합니다.
그런데 여기서 거꾸로 한다는 것이 구체적으로 무엇을 의미하는 걸까요?


2에 3을 더하면 5가 됩니다.
그렇다면 2에 얼마를 더해야 5가 되나요?

정답은 바로 3이죠.

그런데 질문을 다시 한 번 보면 질문 속에는 3이라는 숫자가 없습니다.
2와 5라는 숫자만 존재하죠.

그렇다면 '2에 얼마를 더해야 5?' 라는 질문에 숫자 2와 5만을 이용해서 답하려면 어떻게 해야 할까요?

바로 빼기를 이용하면 됩니다.

위 질문에 대한 답은 5 - 2 라고 표현할 수 있죠.


비슷한 문제를 하나 더 풀어보겠습니다.

2에 3을 곱하면 6이 됩니다.
그렇다면 2에 얼마를 곱해야 6이 되나요?

만약 3이라고 대답했다면 50점, 6÷26 \div 2 라고 대답했다면 100점입니다.


이처럼 어떤 두 연산 A, B가 서로 거꾸로 관계에 있다고 말하는 것은 '얼마를 A 연산해야' 라는 의미로부터 B 연산이 유도될 수 있음을 의미합니다.

위에서 볼 수 있듯 빼기는 '얼마를 더해야' 로부터 유도될 수 있고, 나누기는 '얼마를 곱해야' 로부터 유도될 수 있죠.

지수와 로그도 이와 같습니다.

한 번 아래 질문에 답해보세요.


2를 3제곱하면 8이 됩니다.
그렇다면 2를 몇제곱해야 8이 될까요?

3이라고 대답했다면 50점, log28\log_{2}{8} 또는 로그를 모르더라도 2와 8, 그리고 지수의 거꾸로 연산을 이용하여 대답해야겠다는 생각을 하셨다면 100점입니다.


로그의 뜻

위 문제에서 볼 수 있듯 log28\log_{2}{8} 은 '2를 몇제곱해야 8?' 이라는 질문에 대한 답입니다.

이것을 수식으로 표현해보겠습니다.

2x=8x=log28\qquad 2^x = 8 \enspace\Leftrightarrow\enspace x = \log_{2}{8}

이것이 로그의 정의입니다. 일반화된 표현으로 적으면 아래와 같습니다.

ax=bx=logab\qquad a^x = b \enspace\Leftrightarrow\enspace x = \log_{a}{b}

이 정의를 이용하면 로그를 조금 더 직관적으로 이해할 수 있습니다.

logab\log_{a}{b} 를 보고 'aa를 몇제곱해야 bb가 되는지를 표현한 수' 라고 생각할 수 있는 것이죠.

그리고 이 뜻을 이용하면 로그에 관한 공식들을 아주 쉽게 유도할 수 있습니다.


logaa=?\log_{a}{a} = ?

logaa\log_{a}{a} 의 값은 얼마일까요?

뜻 그대로 생각해보면 'a를 몇제곱해야 a?' 에 대한 답이죠.

이는 1임을 쉽게 알 수 있습니다.


loga1=?\log_{a}{1} = ?

다음으로 loga1\log_{a}{1} 의 값은 얼마일까요?

뜻 그대로 생각해보면 'a를 몇제곱해야 1?' 에 대한 답이죠.

이는 0임을 쉽게 알 수 있습니다.


logaa3=?\log_{a}{a^3} = ?

logaa3\log_{a}{a^3} 의 값은 얼마일까요?

역시 뜻 그대로 생각해보면 'a를 몇제곱해야 a3a^3?' 에 대한 답이죠.

이는 3임을 쉽게 알 수 있습니다.


alogab=ba^{\log_{a}{b}} = b

이 공식은 로그의 뜻으로부터 아주 쉽게 유도될 수 있습니다.
그러나 흔히 더 어려운 방식으로 유도되곤 합니다.

바로 alogcb=blogcaa^{\log_{c}{b}} = b^{\log_{c}{a}} 라는 공식에서 cc 자리에 aa 를 넣은 형태로 말이죠.

로그의 뜻을 이용하여 더 쉽게 alogab=ba^{\log_{a}{b}} = b 임을 유도해보도록 하겠습니다.


먼저 logab\log_{a}{b} 는 'a를 몇제곱해야 b?' 에 대한 답입니다.

따라서 실제로 aalogab\log_{a}{b} 제곱하면 bb가 되겠죠.

뜻 자체를 그대로 표현했을 뿐이니까요.

따라서 alogab=ba^{\log_{a}{b}} = b 가 성립합니다.



이번 포스팅에서는 로그의 뜻과 이를 이용한 몇몇 로그 공식 유도에 대해 알아보았습니다.

이번 포스팅을 통해 로그에 대해 조금 더 친근하고 직관적으로 느끼셨으면 좋겠습니다.

다음 포스팅에서는 아직 다루지 않은 여러 로그 공식들 또한 로그의 뜻 자체를 이용하여 유도해보려고 합니다.

감사합니다.

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