Ⅰ. 이진 탐색 알고리즘
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순차 탐색 : 리스트 안에 있는 특정한 데이터를 찾기 위해 앞에서부터 데이터를 하나씩 확인하는 방법
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이진 탐색 : 정렬되어 있는 리스트에서 탐색 범위를 절반씩 좁혀가며 데이터를 탐색하는 방법
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이진 탐색은 시작점, 끝점, 중간점을 이용하여 탐색 범위를 설정합니다.
이진 탐색의 시간 복잡도
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단계마다 탐색 범위를 2로 나누는 것과 동일하므로 연산 횟수는 에 비례합니다.
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초기 데이터 수가 32개일 때, 이상적으로 1단계를 거치면 16개 가량의 데이터만 남습니다.
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탐색 범위는 절반씩 줄이며, 시간 복잡도는 을 보장합니다.
이진 탐색 구현
# 이진 탐색 소스코드 구현 (재귀 함수)
def binary_search(array, target, start, end):
if start > end:
return None
mid = (start + end) // 2
# 찾은 경우 중간점 인덱스 반환
if array[mid] == target:
return mid
# 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
elif array[mid] > target:
return binary_search(array, target, start, mid - 1)
# 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인
else:
return binary_search(array, target, mid + 1, end)
# n(원소의 개수)과 target(찾고자 하는 값)을 입력 받기
n, target = list(map(int, input().split()))
# 전체 원소 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))
# 이진 탐색 수행 결과 출력
result = binary_search(array, target, 0, n - 1)
if result == None:
print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
# 인덱스는 0번부터 시작하므로 번째는 +1
print(result + 1)파이썬 이진 탐색 라이브러리
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bisect_left(a, x) : 정렬된 순서를 유지하면서 배열 a에 x를 삽입할 가장 왼쪽 인덱스를 반환
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bisect_right(a, x) : 정렬된 순서를 유지하면서 배열 a에 x를 삽입할 가장 오른쪽 인덱스를 반환
이진 탐색 라이브러리 코드
from bisect import bisect_left, bisect_right
a = [1, 2, 4, 4, 8]
x = 4
print(bisect_left(a, x)) # 2
print(bisect_left(a, x)) # 4값이 특정 범위에 속하는 데이터 개수 구하기
from bisect import bisect_left, bisect_right
# 값이 left_value ~ right_value인 데이터 개수 반환 함수
def count_by_range(a, left_value, right_value):
right_index = bisect_right(a, right_value)
left_index = bisect_left(a, left_value)
return right_index - left_index
a = [1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 8, 9]
print(count_by_range(a, 4, 4)) # 2
print(count_by_range(a, -1, 3)) # 6파라메트릭 서치
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최적화 문제를 결정 문제 (Yes or No)로 바꾸어 해결하는 기법입니다.
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일반적으로 이진 탐색을 이용하여 파라메트릭 서치 문제를 해결할 수 있습니다.
Ⅱ. 예제
① 떡볶이 떡 만들기
❔ 문제 설명
여행 가신 부모님을 대신해서 떡집 일을 하기로 했습니다. 오늘은 떡볶이 떡을 만드는 날입니다. 떡볶이 떡의 길이가 일정하지 않습니다. 대신에 한 봉지 안에 들어가는 떡의 총 길이는 절단기로 잘라서 맞춰줍니다.
절단기에 높이(H)를 지정하면 줄지어진 떡을 한 번에 절단합니다. 높이가 H보다 긴 떡은 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 떡은 잘리지 않습니다.
예를 들어 높이가 19, 14, 10, 17cm인 떡이 나란히 있고 절단기 높이를 15cm로 지정하면 자른 뒤 떡의 높이는 15, 14, 10, 15cm가 될 것입니다. 잘린 떡의 길이는 차례대로 4, 0, 0, 2cm 입니다. 손님은 6cm만큼의 길이를 가져갑니다.
손님이 왔을 때 요청한 총 길이가 M일 때 적어도 M만큼의 떡을 얻기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하세요.
💡 문제 해결 아이디어
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적절한 높이를 찾을 때까지 이진 탐색을 수행하여 높이 H를 반복해서 조정하면 됩니다.
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현재 이 높이로 자르면 조건을 만족할 수 있는가?를 확인한 뒤에 조건의 만족 여부에 따라서 탐색 범위를 좁혀서 해결할 수 있습니다.
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절단기의 높이는 0부터 10억까지의 정수 중 하나입니다.
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큰 탐색 범위를 보면 먼저 이진 탐색을 떠올려야 합니다.
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중간점의 값은 시간이 지날수록 최적화된 값이 되기 때문에 과정을 반복하면서 얻을 수 있는 떡의 길이 합이 필요한 떡의 길이보다 크거나 같을 때마다 중간점의 값을 기록합니다.
✔️ 풀이
Python
# 떡의 개수(N)와 요청한 떡의 길이(M)을 입력
n, m = list(map(int, input().split(' ')))
# 각 떡의 개별 높이 정보를 입력
array = list(map(int, input().split()))
# 이진 탐색을 위한 시작점과 끝점 설정
start = 0
end = max(array)
# 이진 탐색 수행 (반복적)
result = 0
while(start <= end):
total = 0
mid = (start + end) // 2
for x in array:
# 잘랐을 때의 떡볶이 양 계산
if x > mid:
total += x - mid
# 떡볶이 양이 부족한 경우 더 많이 자르기 (오른쪽 부분 탐색)
if total < m:
end = mid - 1
# 떡볶이 양이 충분한 경우 덜 자르기 (왼쪽 부분 탐색)
else:
result = mid # 최대한 덜 잘랐을 때가 정답이므로, 여기에서 result에 기록
start = mid + 1
# 정답 출력
print(result)② 정렬된 배열에서 특정 수의 개수 구하기
❔ 문제 설명
N개의 원소를 포함하고 있는 수열이 오름차순으로 정렬되어 있습니다. 이때 이 수열에서 x가 등장하는 횟수를 계산하세요. 예를 들어 수열 {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3}이 있을 때 x = 2 면, 현재 수열에서 값이 2인 원소가 4개이므로 4를 출력합니다.
단, 시간 복잡도 으로 알고리즘을 설계하지 않으면 시간 초과 판정을 받습니다.
💡 문제 해결 아이디어
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일반적인 선형 탐색으로는 시간 초과 판정을 받습니다.
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문제의 배열이 오름차순으로 정렬이 되어있기 때문에 bisect를 사용할 수 있습니다.
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하지만 데이터가 정렬되어 있기 때문에 이진 탐색을 수행할 수 있습니다.
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특정 값이 등장하는 첫 번째 위치와 마지막 위치를 찾아 위치 차이를 계산해 문제를 해결할 수 있습니다.
✔️ 풀이
Python
from bisect import bisect_left, bisect_right
# 값이 [left_value, right_value]인 데이터의 개수를 반환하는 함수
def count_by_range(array, left_value, right_value):
right_index = bisect_right(array, right_value)
left_index = bisect_left(array, left_value)
return right_index - left_index
n, x = map(int, input().split()) # 데이터의 개수 N, 찾고자 하는 값 x 입력 받기
array = list(map(int, input().split())) # 전체 데이터 입력 받기
# 값이 [x, x] 범위에 있는 데이터의 개수 계산
count = count_by_range(array, x, x)
# 값이 x인 원소가 존재하지 않는다면
if count == 0:
print(-1)
# 값이 x인 원소가 존재한다면
else:
print(count)